人教第01讲 空间几何体的结构、三视图和直观图与空间几何体的表面积和体积（练）（解析版）.docx

第01讲 空间几何体的结构、三视图和直观图与空间几何体的表面积和体积（讲）
一、单选题
1．据《九章算术》中记载，“阳马”是以矩形为底面，一棱与底面垂直的四棱锥.现有一个“阳马”，底面ABCD，底面ABCD是矩形，且，则这个“阳马”的外接球表面积为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】把四棱锥补成一个长方体，如图，长方体的对角线就是其外接球也是四棱锥的外接球直径，由长方体性质求得球半径后可得表面积．
【详解】把四棱锥补成一个长方体，如图，长方体的对角线就是其外接球也是四棱锥的外接球直径，
设球半径为，则，
球表面积为．
故选：C．
2．如图，平行四边形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中,，则原图形的面积是（    ）
A．4 B． C． D．
【答案】B
【分析】求出直观图的面积，再根据原平面图形的面积与直观图的面积比为，计算即可.
【详解】解：平行四边形中，，
所以平行四边形的面积为，
所以原平面图形的面积是.故选：B
3．若圆台的高是3，一个底面半径是另一个底面半径的2倍，母线与下底面成角，则这个圆台的侧面积是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由题意，作该圆台的轴截面，求得上下底面半径和母线长，根据侧面积计算公式，可得答案.
【详解】由题意，可作该圆台的轴截面，如下图所示：
则圆台的高，
上底面半径，下底面半径，即，
母线，即，
在中，，，
易知在正方形中，，则，即，
综上，，
圆台的侧面积.故选：B.
4．如图，已知正方体的棱长为，沿图1中对角面将它分割成两个部分，拼成如图2的四棱柱，则该四棱柱的全面积为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】拼成的几何体比原正方体的表面增加了两个截面，减少了原来两个正方形面，据此变化，进行求解.
【详解】由题意，拼成的几何体比原正方体的表面增加了两个截面，减少了原来两个正方形面，由于截面为矩形，长为，宽为，所以面积为，
所以拼成的几何体的表面积为.故选：C.
5．一个水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，如图所示，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的面积为（    ）
A． B． C．8 D．
【答案】D
【分析】根据斜二测画法的过程将直观图还原回原图形，找到直观图中正方形的四个顶点在原图形中对应的点，用直线段连结后得到原四边形，再计算平行四边形的面积即可．
【详解】还原直观图为原图形如图所示，
因为，所以，还原回原图形后，
，；
所以原图形的面积为．
故选：D
6．如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA1=8.若侧面AA1B1B水平放置时，液面恰好过AC，BC，A1C1，B1C1的三等分点处，，当底面ABC水平放置时，液面高为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用相似比得到四边形和三角形的面积比，再根据等体积的思路列等式即可求解.
【详解】
如图，设靠近点的三等分点为点，
当底面水平放置时，液面高度为，此时液体体积，因为,所以，,
所以，解得.故选：A.
二、填空题
7．在三棱锥中，，且两两互相垂直，则三棱锥的外接球的体积为__________．
【答案】
【分析】根据题意，将三棱锥补形为立方体，从而求出立方体的体对角线即为外接球的直径，求出半径，进而求出外接球的体积.
【详解】因为，且两两互相垂直，
所以三棱锥可补形为立方体，三棱锥的外接球即为立方体的外接球，
则立方体的体对角线为其外接球的直径，设三棱锥的外接球的半径为，
则，
所以，则外接球体积为.
故答案为：
8．圆锥轴截面的顶角为，母线长为2，则过任意两条不重合的母线的截面面积的取值范围为_________.
【答案】
【分析】设为圆锥的任意两条母线，，则有，然后利用三角形的面积公式表示出，从而可求出其范围.
【详解】设为圆锥的任意两条母线，，
则由题意得，，
，
因为，所以，
所以过任意两条母线的截面面积的取值范围为，
故答案为：
9．一个圆柱的底面直径与高都等于一个球的直径，则圆柱的表面积与球的表面积之比为_________.
【答案】
【分析】设球的半径为，计算出圆柱和球的表面积，即可得解.
【详解】设球的半径为，则圆柱的表面积，
球的表面积，所以.
故答案为：.
三、解答题
10．如图，直三棱柱的体积为4，的面积为．求A到平面的距离；
【答案】
【分析】根据等体积法求出棱锥的高即可.
【详解】在直三棱柱中，设点A到平面的距离为h，
则，