人教第04讲 数列求和（讲）（解析版）.docx

第04讲 数列求和
本讲为高考命题热点，分值12-17分，题型多变，选择题，填空题，解答题都会出现，
选择填空题常考等差等比数列的性质，大题题型多变，但对于文科来讲常考察基本量的计算与数列求和，对于理科考点相对难度较大，比如新定义，奇偶列等，考察逻辑推理能力与运算求解能力.
考点一 特殊数列的求和公式
(1)等差数列的前n项和公式：
Sn＝＝na1＋d.
(2)等比数列的前n项和公式：
Sn＝
考点二 数列求和的几种常用方法
(1)分组转化法
把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解.
(2)裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和.
(3)错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n项和可用错位相减法求解.
(4)倒序相加法
如果一个数列{an}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解.
高频考点一 分组转化法
【例1】数列{an}的通项公式是an＝(－1)n(2n－1)，则该数列的前100项之和为(　　)
A.－200 B.－100
C.200 D.100
【答案】D
【解析】S100＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…＋(－197＋199)＝2×50＝100.
【例2】(2022·合肥质检)已知数列{an}的首项为－1，anan＋1＝－2n，则数列{an}的前10项之和等于________.
【答案】31
【解析】因为anan＋1＝－2n，所以an＋1an＋2＝－2n＋1，因此＝2，
所以{an}的奇数项和偶数项均为公比为2的等比数列，
又a1＝－1，a2＝＝2，
∴S10＝(a1＋a3＋…＋a9)＋(a2＋a4＋…＋a10)
＝＋＝－31＋2×31＝31.
【方法技巧】
1.若数列{cn}的通项公式为cn＝an±bn，且{an}，{bn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列{cn}的前n项和.
2.若数列{cn}的通项公式为cn＝其中数列{an}，{bn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求{cn}的前n项和.
3.求解此类求和问题需过两关：第一关，拆分关，即观察数列的通项公式的结构特征，拆分为若干个可求和的简单数列(如等差数列、等比数列)；第二关，求和关，对各个简单数列分别求和，最后合并为待求数列的前n项和.
【跟踪训练】
1.(2021·江南名校联考)在一个数列中，如果∀n∈N*，都有anan＋1an＋2＝k(k为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k叫做这个数列的公积.已知数列{an}是等积数列，且
a1＝1，a2＝2，公积为8，则a1＋a2＋…＋a2 021＝________.
【答案】4 714
【解析】根据a1＝1，a2＝2及anan＋1an＋2＝8，
得a3＝4，a4＝1，a5＝2，a6＝4，…，
易知数列{an}是周期为3的周期数列，
且an＋an＋1＋an＋2＝7(n∈N*)，
所以a1＋a2＋…＋a2 021＝(a1＋a2)＋(a3＋a4＋a5)×673
＝1＋2＋(1＋2＋4)×673＝