人教第5章 平面向量与复数 第3节　平面向量的数量积及平面向量的应用.docx

第3节　平面向量的数量积及平面向量的应用
考试要求　1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义；2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系；3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题；6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.
1.平面向量数量积的有关概念
(1)向量的夹角：已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角.
(2)数量积的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则a与b的数量积(或内积)a·b＝|a||b|cos__θ.规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.
(3)数量积的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos__θ的乘积.
2.平面向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a(交换律).
(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律).
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).
3.已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ
结论
符号表示
坐标表示
模
|a|＝
|a|＝
夹角
cos θ＝
cos θ＝
a⊥b的充要条件
a·b＝0
x1x2＋y1y2＝0
|a·b|与|a||b|的关系
|a·b|≤|a||b|
|x1x2＋y1y2|≤
1.两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b>0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角
⇔a·b<0且a，b不共线.
2.平面向量数量积运算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；
(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.
(3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)两个向量的夹角的范围是.(　　)
(2)一个向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量.(　　)
(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.(　　)
(4)若a·b＝a·c(a≠0)，则b＝c.(　　)
答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×
解析　(1)两个向量夹角的范围是[0，π].
(4)由a·b＝a·c(a≠0)得|a||b|·cos〈a，b〉＝|a||c|·cos〈a，c〉，所以向量b和c不一定相等.
2.已知向量a＝(1，1)，b＝(2，4)，则(a－b)·a＝(　　)
A.－14 B.－4 C.4 D.14
答案　B
解析　由题意得a－b＝(－1，－3)，
则(a－b)·a＝－1－3＝－4.
3.已知＝(2，3)，＝(3，t)，||＝1，则·＝(　　)
A.－3 B.－2 C.2 D.3
答案　C
解析　因为＝－＝(3，t)－(2，3)＝(1，t－3)，所以||＝＝1，解得t＝3，所以＝(1，0)，
所以·＝2×1＋3×0＝2.
4.(2022·江南名校模拟)已知平面向量a，b，满足|a|＝|b|＝1，若(2a－b)·b＝0，则向量a，b的夹角为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　由(2a－b)·b＝0，可得a·b＝b2＝.
设向量a，b的夹角为θ，
则cos θ＝＝.
又θ∈[0，π]，所以向量a，b的夹角为.
5.已知＝(－1，2)，点C(2，0)，D(3，－1)，则向量在方向上的投影为________；向量在方向上的投影为________.
答案　－　－
解析　因为＝(1，－1)，向量在方向上的投影为＝－，同理在方向上的投影为＝－.
6.(2021·全国甲卷)已知向量a＝(3，1)，b＝(1，0)，c＝a＋kb.若a⊥c，则k＝________.
答案　－
解析　由题意得c＝(3，1)＋(k，0)＝(3＋k，1).又a⊥c，所以a·c＝3(3＋k)＋1×1＝10＋3k＝0，得k＝－.
考点一　向量数量积的基本概念及运算
1.已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角的余弦值为sin ，则b·(2a－b)等于(　　)
A.2 B.－1 C.－6 D.－18
答案　D
解析　由题意知cos〈a，b〉＝sin
＝sin＝－sin ＝－，
所以a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝1×2×＝－3，
b·(2a－b)＝2a·b－b2＝－18.
2.若向量m＝(2k－1，k)与向量n＝(4，1)共线，则m·n＝(　　)
A.0 B.4 C.－