人教第6章 数列 第1节　数列的概念与简单表示法.docx

第1节　数列的概念与简单表示法
考试要求　1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).
2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.
1.数列的定义
按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.
2.数列的分类
分类标准
类型
满足条件
项数
有穷数列
项数有限
无穷数列
项数无限
项与项
间的大
小关系
递增数列
an＋1＞an
其中n∈N*
递减数列
an＋1＜an
常数列
an＋1＝an
摆动数列
从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
3.数列的表示法
数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法.
4.数列的通项公式
如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.
5.数列的递推公式
如果已知数列的第一项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项
an－1(n≥2)(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.
1.若数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an，则an＝
2.在数列{an}中，若an最大，则若an最小，则
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列.(　　)
(2)1，1，1，1，…，不能构成一个数列.(　　)
(3)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列.(　　)
(4)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对任意n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
解析　(1)数列：1，2，3和数列：3，2，1是不同的数列.
(2)数列中的数是可以重复的，可以构成数列.
(3)数列可以是常数列或摆动数列.
2.(2022·湘豫名校联考)已知数列{an}满足：对任意m，n∈N*，都有anam＝an＋m，且a2＝2，那么a20＝(　　)
A.240 B.230 C.220 D.210
答案　D
解析　由anam＝an＋m，a2＝2，得a20＝a2a18＝a2a2a16＝a＝210.故选D.
3.数列，，，，，…的通项公式是an＝________.
答案　，n∈N*
4.(易错题)已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋3，则{an}的通项公式为________.
答案　an＝
解析　当n＝1时，a1＝S1＝4，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1，
又a1＝4不适合上式，
所以an＝
5.若an＝－n2＋9n＋10，则当数列{an}的前n项和Sn最大时，n的值为________.
答案　9或10
解析　要使Sn最大，只需要数列中正数的项相加即可，
即需an＞0，－n2＋9n＋10＞0，得－1＜n＜10，
又n∈N*，所以1≤n＜10.
又a10＝0，所以n＝9或10.
6.已知an＝n2＋λn，且对于任意的n∈N*，数列{an}是递增数列，则实数λ的取值范围是________.
答案　(－3，＋∞)
解析　因为{an}是递增数列，所以对任意的n∈N*，都有an＋1＞an，即(n＋1)2＋λ(n＋1)＞n2＋λn，整理，
得2n＋1＋λ＞0，即λ＞－(2n＋1).(*)
因为n≥1，所以－(2n＋1)≤－3，要使不等式(*)恒成立，只需λ＞－3.
考点一　由an与Sn的关系求通项
例1 (1)设数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn＝an，且a1＝1，则数列{an}的通项公式为________.
答案　an＝n
解析　由Sn＝an，得2Sn＝(n＋1)an.
所以2Sn－1＝nan－1(n≥2)，
所以2Sn－2Sn－1＝(n＋1)an－nan－1(n≥2)，
所以2an＝(n＋1)an－nan－1(n≥2)，
即(n－1)an＝nan－1(n≥2)，
所以＝(n≥2)，
则＝(n≥2)，
∴数列是以＝1为首项的常数列.
因此an＝n.
(2)设数列{an}的前n项和为Sn，数列{Sn}的前n项和为Tn，满足Tn＝2Sn－n2，n∈
N＋.
①求a1的值；
②求数列{an}的通项公式.
解　①令n＝1时，T1＝2S1－1，
∵T1＝S1＝a1，∴a1＝2a1－1，∴a1＝1.
②n≥2时，Tn－1＝2Sn－1－(n－1)2，
则Sn＝Tn－Tn－1
＝2Sn－n2－[2Sn－1－(n－1)2]
＝2(Sn－Sn－1)－2n＋1
＝2an－2n＋1.
因为当n＝1时，a1＝S1＝1也