人教第9章 平面解析几何 第7节　抛物线.docx

第7节　抛物线
考试要求　1.了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.
1.抛物线的定义
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.
(2)其数学表达式：{M||MF|＝d}(d为点M到准线l的距离).
2.抛物线的标准方程与几何性质
图形
标准
方程
y2＝2px (p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
性质
顶点
O(0，0)
对称轴
y＝0
x＝0
焦点
F
F
F
F
离心率
e＝1
准线方程
x＝－
x＝
y＝－
y＝
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
开口方向
向右
向左
向上
向下
1.通径：过焦点且垂直于对称轴的弦长等于2p，通径是过焦点最短的弦.
2.抛物线y2＝2px(p>0)上一点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|＝x0＋，也称为抛物线的焦半径.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.(　　)
(2)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.(　　)
(3)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切.(　　)
(4)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x2＝－2ay(a>0)的通径长为2a.(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
解析　(1)当定点在定直线上时，轨迹为过定点F与定直线l垂直的一条直线，而非抛物线.
(2)抛物线是只有一条对称轴的轴对称图形.
(3)一条直线平行抛物线的对称轴，此时与抛物线只有一个交点，但不相切.
2.(易错题)(2022·长春检测)已知抛物线方程为y＝，则抛物线的准线方程为(　　)
A.x＝1 B.x＝－1
C.y＝1 D.y＝－1
答案　D
解析　化抛物线的方程为标准方程，得x2＝4y，所以p＝2，所以抛物线的准线方程为y＝－＝－1，故选D.
3.(易错题)过点(0，1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有(　　)
A.1条 B.2条
C.3条 D.4条
答案　C
解析　结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x＝0，过点(0，1)且平行于x轴的直线以及过点(0，1)且与抛物线相切的直线(非直线x＝0).
4.(2021·兰州调研)已知点(1，1)在抛物线C：y2＝2px(p>0)上，则C的焦点到其准线的距离为(　　)
A. B. C.1 D.2
答案　B
解析　因为点(1，1)在抛物线C上，所以1＝2p，解得p＝，故C的焦点到其准线的距离为，故选B.
5.(2022·太原质检)顶点在原点，且过点P(－2，3)的抛物线的标准方程是__________.
答案　y2＝－x或x2＝y
解析　设抛物线的标准方程是y2＝kx或x2＝my，代入点P(－2，3)，解得k＝－，m＝，所以y2＝－x或x2＝y.
6.(2020·新高考山东卷)斜率为的直线过抛物线C：y2＝4x的焦点，且与C交于A，B两点，则|AB|＝________.
答案　
解析　由题意得，抛物线焦点为F(1，0)，
设直线AB的方程为y＝(x－1).
由得3x2－10x＋3＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，
所以|AB|＝x1＋x2＋2＝.
考点一　抛物线的定义及标准方程
1.(2022·豫北六校联考)已知圆C与圆x2＋(y－3)2＝1外切，与直线y＝0相切，则圆C的圆心的轨迹为(　　)
A.双曲线 B.椭圆
C.直线 D.抛物线
答案　D
解析　由题意知，圆C的圆心到点(0，3)的距离比到直线y＝0的距离大1，
即圆C的圆心到点(0，3)的距离与到直线y＝－1的距离相等，
根据抛物线的定义可知，所求轨迹是抛物线，故选D.
2.(2020·全国Ⅰ卷)已知A为抛物线C：y2＝2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p＝(　　)
A.2 B.3 C.6 D.9
答案　C
解析　设A(x，y)，由抛物线的定义知，点A到准线的距离为12，即x＋＝12.
又因为点A到y轴的距离为9，即x＝9，
所