人教第18节 等差数列及前n项和（解析版）.docx

第18节 等差数列及前n项和
基础知识要夯实
1． 等差数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差是同一个常数，我们称这样的数列为等差数列，这个常数叫作等差数列的公差，通常用字母__d__表示．
2． 等差数列的通项公式
如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是an＝a1＋(n－1)d.
3． 等差中项
如果A＝，那么A叫作a与b的等差中项．
4． 等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d，(n，m∈N＋)．
(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n，(k，l，m，n∈N＋)，则ak＋al＝am＋an.
(3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d.
(4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．
(5)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N＋)是公差为md的等差数列．
5． 等差数列的前n项和公式
设等差数列{an}的公差为d，其前n项和Sn＝或Sn＝na1＋d.
6． 等差数列的前n项和公式与函数的关系
Sn＝n2＋n.
数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A、B为常数)．
7． 等差数列的前n项和的最值
在等差数列{an}中，a1>0，d<0，则Sn存在最__大__值；若a1<0，d>0，则Sn存在最__小__值．
难点正本　疑点清源
1．等差数列的判断方法
(1)定义法：an－an－1＝d (n≥2)；
(2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2.
2．等差数列与等差数列各项和的有关性质
(1)am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等差数列，公差为kd.
(2)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．
(3)S2n－1＝(2n－1)an.
(4)若n为偶数，则S偶－S奇＝d.
若n为奇数，则S奇－S偶＝a中(中间项)．
3．等差数列与函数
在d≠0时，an是关于n的一次函数，一次项系数为d；Sn是关于n的二次函数，二次项系数为，且常数项为0.
典型例题剖析
考点一等差数列基本量的运算
[题组练透]
1．(2018·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝(　　)
A．－12　　　　　　　　　 B．－10
C．10 D．12
【答案】B
【解析】设等差数列{an}的公差为d，由3S3＝S2＋S4，得3(3a1＋3d)＝2a1＋d＋4a1＋6d，即3a1＋2d＝0.将a1＝2代入上式，解得d＝－3，故a5＝a1＋(5－1)d＝2＋4×(－3)＝－10.
2．(2017·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为(　　)
A．1 B．2
C．4 D．8
【答案】C
【解析】设等差数列{an}的公差为d，则由得
即解得d＝4.
3．(2022·西安质检)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3·a5＝12，a2＝0.若a1＞0，则S20＝(　　)
A．420 B．340
C．－420 D．－340
【答案】D
【解析】设数列{an}的公差为d，则a3＝a2＋d＝d，a5＝a2＋3d＝3d，由a3·a5＝12，得d＝±2，由a1＞0，a2＝0，可知d＜0，所以d＝－2，所以a1＝2，故S20＝20×2＋×(－2)＝－340.
4．(2022·西安八校联考)设数列{an}是等差数列，且a2＝－6，a6＝6，Sn是数列{an}的前n项和，则(　　)
A．S4＜S3 B．S4＝S3
C．S4＞S1 D．S4＝S1
【答案】B
【解析】设{an}的公差为d，由a2＝－6，a6＝6，得解得于是，S1＝－9，S3＝3×(－9)＋×3＝－18，S4＝4×(－9)＋×3＝－18，所以S4＝S3，S4＜S1，
故选B.
【方法技巧】
等差数列基本运算的常见类型及解题策略
(1)求公差d或项数n.在求解时，一般要运用方程思想．
(2)求通项．a1和d是等差数列的两个基本元素．
(3)求特定项．利用等差数列的通项公式或等差数列的性质求解．
(4)求前n项和．利用等差数列的前n项和公式直接求解或利用等差中项间接求解．
[提醒]　在求解数列基本量问题中主要使用的是方程思想，要注意使用公式时的准确性与合理性，更要注意运算的准确性．在遇到一些较复杂的方程组时，要注意运用整体代换思想，使运算更加便捷．
考点二 等差数列的判定与证明
【例1】若数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2SnSn