人教第30节 双曲线（解析版）.docx

第30节 双曲线
基础知识要夯实
1.双曲线的定义
平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c＞0)的距离差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于零)的点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距.其数学表达式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.
(1)若a<c，则集合P为双曲线；
(2)若a＝c，则集合P为两条射线；
(3)若a>c，则集合P为空集.
2.双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
－＝1
(a>0，b>0)
－＝1
(a>0，b>0)
图　形
性　质
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
x∈R，y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±x
y＝±x
离心率
e＝，e∈(1，＋∞)
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长度|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长度|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2
1.过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为.
2.离心率e＝＝＝.
3.等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.
4.若渐近线方程为y＝±x，则双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0).
5.双曲线的焦点到渐近线的距离为b.
6.若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝c＋a，|PF2|min＝c－a.
7.焦点三角形的面积：P为双曲线上的点，F1，F2为双曲线的两个焦点，且∠F1PF2＝θ，则△F1PF2的面积为.
基本技能要落实
考点一　双曲线的标准方程
1.已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，且其右焦点为(5，0)，则双曲线C的标准方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
【答案】B
【解析】由题意得＝，c2＝a2＋b2＝25，所以a＝4，b＝3，所以所求双曲线的标准方程为－＝1.
2.与椭圆＋y2＝1共焦点且过点P(2，1)的双曲线标准方程是(　　)
A.－y2＝1 B.－y2＝1
C.－＝1 D.x2－＝1
【答案】B
【解析】法一　椭圆＋y2＝1的焦点坐标是(±，0).
设双曲线标准方程为－＝1(a>0，b>0)，
因为双曲线过点P(2，1)，
所以－＝1，又a2＋b2＝3，
解得a2＝2，b2＝1，所以所求双曲线的标准方程是－y2＝1.
法二　设所求双曲线标准方程为＋＝1(1<λ<4)，
将点P(2，1)的坐标代入可得＋＝1，
解得λ＝2(λ＝－2舍去)，
所以所求双曲线标准方程为－y2＝1.
3.经过点P(3，2)，Q(－6，7)的双曲线的标准方程为________.
【答案】－＝1
【解析】设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，
因为所求双曲线经过点P(3，2)，Q(－6，7)，
所以解得
故所求双曲线标准方程为－＝1.
4.焦点在x轴上，焦距为10，且与双曲线－x2＝1有相同渐近线的双曲线的标准方程是________________.
【答案】－＝1
【解析】设所求双曲线的标准方程为－x2＝－λ(λ>0)，即－＝1，则有4λ＋λ＝25，解得λ
＝5，所以所求双曲线的标准方程为－＝1.
【方法技巧】
1.用待定系数法求双曲线的方程时，先确定焦点在x轴还是y轴上，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点的位置不好确定，可将双曲线的方程设为－＝λ(λ≠0)或mx2－ny2＝1(mn>0)，再根据条件求解.
2.与双曲线－＝1有相同渐近线时可设所求双曲线方程为－＝λ(λ≠0).
考点二　双曲线的定义及应用
【例2】(1)(2021·合肥质检)－＝4表示的曲线方程为(　　)
A.－＝1(x≤－2) B.－＝1(x≥2)
C.－＝1(y≤－2) D.－＝1(y≥2)
(2)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为________.
(3)已知F是双曲线－＝1的左焦点，A(1，4)，P是双曲线右支上的一动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________.
【答案】(1)C　(2)2　(3)9
【解析】(1)的几何意义为点M(x，y)到点F1(0，3)的距离，的几何意义为点M(x，y)到点F2(0，－3)的距离，则