人教考向42离散型随机变量的期望与方差（重点）-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题（全国通用）（解析版）.docx

考向40 离散型随机变量的期望与方差
1．（2022·浙江卷T15）现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为，则 ， ．
【答案】，．
【解析】．
的所有可能取值为1，2，3，4．
，，，，
故=．
2. （2022·北京卷T18）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到以上（含）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：
甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，935，9.30，9.25；
乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；
丙：9.85，9.65，9.20，9.16．
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．
（1）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；
（2）设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望E（X）；
（3）在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）
【答案】（1）0.4 （2） （3）丙
【解析】（1）由频率估计概率可得
甲获得优秀的概率为0.4，乙获得优秀的概率为0.5，丙获得优秀的概率为0.5，
故答案为0.4
（2）设甲获得优秀为事件A1,乙获得优秀为事件A2，丙获得优秀为事件A3
，
，
，
.
∴X的分布列为
X
0
1
2
3
P
∴
（3）丙夺冠概率估计值最大.
因为铅球比赛无论比赛几次就取最高成绩.比赛一次，丙获得9.85的概率为，甲获得9.80的概率为，乙获得9.78的概率为.并且丙的最高成绩是所有成绩中最高的，比赛次数越多，对丙越有利.
1．求离散型随机变量X的分布列的步骤
2．期望与方差的一般计算步骤
(1)理解X的意义，写出X的所有可能取的值；
(2)求X取各个值的概率，写出分布列；
(3)根据分布列，正确运用期望与方差的定义或公式进行计算．　　
3．求超几何分布的分布列的步骤
第一步，验证随机变量服从超几何分布，即X～H(N，M，n)，并确定参数N，M，n的值；
第二步，根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率；
第三步，用表格的形式列出分布列．
4．求超几何分布的均值与方差的方法
(1)列出随机变量X的分布列，利用均值与方差的计算公式直接求解；
(2)利用公式E(X)＝，D(X)＝求解．　　
1.分布列性质的两个作用
(1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值及检查分布列的正确性．
(2)随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率．　　
2.牢记均值与方差的四个常用性质
若Y＝aX＋b，其中a，b是常数，X是随机变量，则
(1)E(k)＝k，D(k)＝0，其中k为常数．
(2)E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)．
(3)E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)．
(4)D(X)＝E(X2)－(E(X))2.　　
一、单选题
1．盒中有大小相同的5个红球和3个白球，从中随机摸出3个小球，记摸到白球的个数为，则随机变量的数学期望 （    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】盒中有大小相同的5个红球和3个白球，
从中随机摸出3个球，记摸到白球的个数为，
的可能取值为0，1，2，3，
所以，，
，，
的分布列为：

0
1
2
3





．
故选：B．
2．小林从A地出发去往B地，1小时内到达的概率为0.4，1小时10分到达的概率为0.3，1小时20分到达的概率为0.3.现规定1小时内到达的奖励为200元，若超过1小时到达，则每超过1分钟奖励少2元.设小林最后获得的奖励为X元，则（    ）
A．176 B．182 C．184 D．186
【答案】B
【解析】依题意可得X的可能值为200，180，160.
，，，
X的分布列为
200
180
160
0.4
0.3
0.3
所以.
故选：B.
3．盒中有10个螺丝钉，其中有3个是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么概率是的事件为（    ）
A．恰有1个是坏的 B．4个全是好的
C．恰有2个是好的 D．至多有2个是坏