人教版高中数学1 第1讲　相等关系与不等关系.doc

第1讲　相等关系与不等关系
最新考纲
考向预测
1．通过具体情境，感受生活中大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景．
2．理解不等式的概念，掌握不等式的性质．
命题
趋势
以考查不等式的性质为重点，同时考查不等关系，常与函数、数列、解析几何、实际问题等相结合进行综合命题.
核心
素养
逻辑推理
1．实数大小与运算性质之间的关系
a－b>0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔a<b．
2．等式的性质
(1)对称性：若a＝b，则b＝a．
(2)传递性：若a＝b，b＝c，则a＝c．
(3)可加性：若a＝b，则a＋c＝b＋c．
(4)可乘性：若a＝b，则ac＝bc；若a＝b，c＝d，则ac＝bd．
3．不等式的性质
(1)对称性：a＞b⇔b＜a.
(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a>c.
(3)可加性：a＞b⇔a＋c>b＋c；
a＞b，c＞d⇒a＋c>b＋d.
(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；
a>b，c<0⇒ac<bc；
a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd.
(5)可乘方性：a＞b＞0⇒an>bn(n∈N，n≥1)．
(6)可开方性：a＞b＞0⇒＞(n∈N，n≥2)．
常用结论
1．倒数性质
(1)a>b，ab>0⇒<；
(2)a<0<b⇒<；
(3)a>b>0，d>c>0⇒>.
2．有关分数的性质
若a>b>0，m>0，则
(1)<；>(b－m>0)；
(2)>；<(b－m>0)．
常见误区
1．在不等式的两边同乘以一个正数，不等号方向不变；同乘以一个负数，不等号方向改变；
2．求范围乱用不等式的加法原理致错．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a<b三种关系中的一种．(　　)
(2)若>1，则a>b.(　　)
(3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变．(　　)
(4)一个非零实数越大，则其倒数就越小．(　　)
(5)a>b>0，c>d>0⇒>.(　　)
(6)若ab>0，则a>b⇔<.(　　)
答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√　(6)√
2．设a，b∈[0，＋∞)，A＝＋，B＝，则A，B的大小关系是(　　)
A．A≤B　　　　　　　　 B．A≥B
C．A<B D．A>B
解析：选B.由题意得，B2－A2＝－2≤0，且A≥0，B≥0，可得A≥B.
3．(易错题)若a>b>0，c<d<0，则一定有(　　)
A.－>0 B.－<0
C.> D.<
解析：选D.因为c<d<0，所以0<－d<－c，
又0<b<a，
所以－bd<－ac，即bd>ac，
又因为cd>0，所以>，即>.
4．已知1<a<4，2<b<8，则的取值范围为________．
解析：因为1<a<4，2<b<8，
又因为<<，
所以<<＝2，即<<2.
答案：
　　　　　　比较两个数(式)的大小
[题组练透]
1．若a<0，b<0，则p＝＋与q＝a＋b的大小关系为(　　)
A．p<q　　　　　　　　 B．p≤q
C．p>q D．p≥q
解析：选B.(作差法)p－q＝＋－a－b
＝＋＝(b2－a2)·
＝＝，
因为a<0，b<0，
所以a＋b<0，ab>0.
若a＝b，则p－q＝0，故p＝q；
若a≠b，则p－q<0，故p<q.
综上，p≤q.故选B.
2．已知a>b>0，m>0，则(　　)
A.＝
B.>
C.<
D.与的大小关系不确定
解析：选C.－＝＝.
因为a>b>0，m>0.
所以b－a<0，a＋m>0，
所以<0.
即－<0.
所以<.
3．若a＝，b＝，比较a与b的大小．
解：因为a＝＞0，b＝＞0，
所以＝·＝＝＝log89＞1，
所以a＞b.
比较两个数(式)大小的方法
[注意]　(1)与命题真假判断相结合问题．解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法．
(2)在求式子的范围时，如果多次使用不等式的可加性，式子中的等号不能同时取到，会导致范围扩大．　
　　　　　　不等式的性质
(1)已知a，b，c∈R，那么下列命题中正确的是(　　)
A．若＞1，则a＞b
B．若＞，则a＞b
C．若a3＞b3且ab＜0，则＞
D．若a2＞b2且ab＞0，则＜
(2)(多选)下列命题为真命题的是(　　)
A．若a>b>0，则ac2>bc2
B．若a<b<0，则a2>ab>b2
C．若a>b>0且c<0，则>
D