人教版高中数学3 第3讲　基本不等式.doc

第3讲　基本不等式
最新考纲
考向预测
1.探索并了解基本不等式的证明过程.
2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.
命题
趋势
本讲是高考的热点，主要考查利用基本不等式求最值、证明不等式、求参数的取值范围等，常与函数结合命题，难度中等.
核心
素养
数学运算、逻辑推理
1．基本不等式：≤
(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．
(3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数．
2．利用基本不等式求最值
已知x≥0，y≥0，则
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2．(简记：积定和最小)
(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是．(简记：和定积最大)
常用结论
几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．
(2)ab≤(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．
(3)≥(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．
(4)＋≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号．
常见误区
1．应用基本不等式求最值要注意：“一正、二定、三相等”．忽略任何一个条件，就会出错；
2．在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式．若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝x＋的最小值是2.(　　)
(2)ab≤成立的条件是ab>0.(　　)
(3)“x>0且y>0”是“＋≥2”的充要条件．(　　)
(4)若a>0，则a3＋的最小值是2.(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
2．(易错题)若x<0，则x＋(　　)
A．有最小值，且最小值为2
B．有最大值，且最大值为2
C．有最小值，且最小值为－2
D．有最大值，且最大值为－2
解析：选D.因为x<0，所以－x>0，－x＋≥2＝2，当且仅当x＝－1时，等号成立，所以x＋≤－2.
3．若函数f(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取最小值，则a＝　(　　)
A．1＋　　　　　　　　 B．1＋
C．3 D．4
解析：选C.当x>2时，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x－2＝(x>2)，即x＝3时取等号，即当f(x)取得最小值时，x＝3，即a＝3，故选C.
4．设0<x<1，则函数y＝2x(1－x)的最大值为________．
解析：y＝2x(1－x)≤2＝.
当且仅当x＝1－x，即x＝时，等号成立．
答案：
5．若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m2.
解析：设一边长为x m，则另一边长可表示为(10－x)m，由题知0<x<10，
则面积S＝x(10－x)≤＝25，
当且仅当x＝10－x，
即x＝5时等号成立．
故当矩形的长与宽相等，
且都为5 m时面积取到最大值25 m2.
答案：25
　　　　　　利用基本不等式求最值
技法一　配凑法求最值
(1)(2021·宿州模拟)已知函数y＝x－4＋(x>－1)，当x＝a时，y取得最小值b，则2a＋3b＝(　　)
A．9　　　　　　　　　　 B．7
C．5 D．3
(2)已知0<x<1，则x(4－3x)取得最大值时x的值为________．　
【解析】　(1)因为x>－1，所以x＋1>0，
所以y＝x－4＋＝x＋1＋－5≥
2－5＝1，
当且仅当x＋1＝，
即x＝2时取等号，
所以y取得最小值b＝1，此时x＝a＝2，
所以2a＋3b＝7.
(2)x(4－3x)＝·(3x)(4－3x)≤·＝，
当且仅当3x＝4－3x，
即x＝时，取等号．
【答案】　(1)B　(1)
通过配凑法利用基本不等式求最值的策略
拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：
(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；
(2)代数式的变形以配凑出和或积的定值为目标；
(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．　
技法二　常数代换法求最值
已知a>0，b>0，a＋b＝1，则的最小值为________．
【解析】　＝＝·＝5＋2≥5＋4＝9.当且仅当a＝b＝时，取等号．
【答案】　9
【引申探究】
1．(变问法)若本例中的条件不变，则＋的最小值为________．　
解析：因为a>0，b>0，a＋b＝1，
所以