人教版高中数学第2讲　变量间的相关关系、统计案例.doc

第2讲　变量间的相关关系、统计案例
一、知识梳理
1．变量间的相关关系
常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关关系；与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系．
2．两个变量的线性相关
(1)从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，称两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫回归直线．
(2)从散点图上看，点分布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为正相关，点分布在左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系为负相关．
(3)回归方程为＝x＋，其中＝，＝－．
(4)相关系数
当r＞0时，表明两个变量正相关；
当r＜0时，表明两个变量负相关．
r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强．r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系，通常|r|大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性．
3．独立性检验
(1)2×2列联表：假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称2×2列联表)为：
y1
y2
总计
x1
a
b
a＋b
x2
c
d
c＋d
总计
a＋c
b＋d
a＋b＋c＋d
(2)K2统计量
K2＝(其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量)．
常用结论
1．求解回归方程的关键是确定回归系数，，应充分利用回归直线过样本中心点(，)．
2．根据K2的值可以判断两个分类变量有关的可信程度，若K2越大，则两分类变量有关的把握越大．
3．根据回归方程计算的值，仅是一个预报值，不是真实发生的值．
二、教材衍化
1.已知x与y之间的一组数据如表：
x
0
1
2
3
y
m
3
5.5
7
已求得y关于x的线性回归方程为＝2.1x＋0.85，则m的值为________．
答案：0.5
2．为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表：
理科
文科
男
13
10
女
7
20
已知P(K2≥3.841)≈0.05，P(K2≥5.024)≈0.025.
根据表中数据，得到K2的观测值
k＝≈4.844.则认为选修文科与性别有关系出错的可能性为________．
解析：K2的观测值k≈4.844＞3.841，这表明小概率事件发生．根据假设检验的基本原理，应该断定“是否选修文科与性别之间有关系”成立，并且这种判断出错的可能性约为5%.
答案：5%
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)相关关系与函数关系都是一种确定性的关系，也是一种因果关系．(　　)
(2)利用散点图可以直观判断两个变量的关系是否可以用线性关系表示．(　　)
(3)只有两个变量有相关关系，所得到的回归模型才有预测价值．(　　)
(4)事件X，Y的关系越密切，由观测数据计算得到的K2的观测值越大．(　　)
(5)通过回归方程＝x＋可以估计和观测变量的取值和变化趋势．(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)√　(5)√
二、易错纠偏
(1)混淆相关关系与函数关系；
(2)对独立性检验K2值的意义不清楚；
(3)不知道回归直线必过样本点中心．
1．两个变量的相关关系有①正相关，②负相关，③不相关，则下列散点图从左到右分别反映的变量间的相关关系是(　　)
A．①②③ B．②③①
C．②①③ D．①③②
解析：选D．第一个散点图中，散点图中的点是从左下角区域分布到右上角区域，则是正相关；第三个散点图中，散点图中的点是从左上角区域分布到右下角区域，则是负相关；第二个散点图中，散点图中的点的分布没有什么规律，则是不相关，所以应该是①③②.
2．某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度(支持和不支持两种态度)的关系，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算K2＝7.069，则所得到的统计学结论是：有多少的把握认为“学生性别与支持该活动有关系”．(　　)
附：
P(K2≥k0)
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
A．0.1% B．1%
C．99% D．99.9%
解析：选C．因为7.069与附表中的6.635最接近，所以得到的统计学结论是：有1－0.010＝0.99＝99%的把握认为“学生性别与支持该活动有关系”．
3．已知x，y的取值如下表，从散点图可以看出y与x线性相关，且回归方程为＝0.95x