人教版高中数学第6讲　对数与对数函数.doc

第6讲　对数与对数函数
一、知识梳理
1．对数
概念
如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底数N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，logaN叫做对数式
性质
对数式与指数式的互化：ax＝N⇔x＝logaN(a>0，且a≠1)
loga1＝0，logaa＝1，alogaN＝N(a>0，且a≠1)
运算法则
loga(M·N)＝logaM＋logaN
a>0，且a≠1，M>0，N>0
loga＝logaM－logaN
logaMn＝nlogaM(n∈R)
换底公式
logab＝(a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0)
2.对数函数的图象与性质
a>1
0<a<1
图象
性质
定义域：(0，＋∞)
值域：R
过定点(1，0)
当x>1时，y>0
当0<x<1时，y<0
当x>1时，y<0
当0<x<1时，y>0
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数
3.反函数
指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．
常用结论
1．换底公式的三个重要结论
①logab＝；②logambn＝logab；③logab·logbc·logcd＝logad.
2．对数函数的图象与底数大小的关系
如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．
故0<c<d<1<a<b.
由此我们可得到以下规律：在第一象限内与y＝1相交的对数函数从左到右底数逐渐增大．
二、教材衍化
1．(log29)·(log34)＝________．
解析：(log29)·(log34)＝×＝×＝4.
答案：4
2．若函数y＝f(x)是函数y＝2x的反函数，则f(2)＝________．　
解析：由题意知f(x)＝log2x，
所以f(2)＝log22＝1.
答案：1
3．函数y＝loga(4－x)＋1(a＞0，且a≠1)的图象恒过点________．　
解析：当4－x＝1即x＝3时，y＝loga1＋1＝1.
所以函数的图象恒过点(3，1)．
答案：(3，1)
4．已知a＝2，b＝log2，c＝log，则a，b，c的大小关系为________________．
解析：因为0<a<1，b<0，c＝log＝log23>1.所以c>a>b.
答案：c>a>b
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)loga(MN)＝logaM＋logaN.(　　)
(2)logax·logay＝loga(x＋y)．(　　)
(3)函数y＝log2x及y＝log3x都是对数函数．(　　)
(4)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．(　　)
(5)函数y＝ln 与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同．　(　　)
(6)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，，函数图象只经过第一、四象限．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√　(6)√
二、易错纠偏
常见误区(1)对数函数图象的特征不熟致误；
(2)忽视对底数的讨论致误；
(3)忽视对数函数的定义域致误．
1．已知a>0，a≠1，函数y＝ax与y＝loga(－x)的图象可能是________．(填序号)
解析：函数y＝loga(－x)的图象与y＝logax的图象关于y轴对称，符合条件的只有②.
答案：②
2．函数y＝logax(a>0，a≠1)在[2，4]上的最大值与最小值的差是1，则a＝________．
解析：分两种情况讨论：①当a>1时，有loga4－loga2＝1，解得a＝2；②当0<a<1时，有loga2－loga4＝1，解得a＝.所以a＝2或.
答案：2或
3．函数y＝的定义域是________________．
解析：由log(2x－1)≥0，得0<2x－1≤1.
所以<x≤1.所以函数y＝的定义域是.
答案：
考点一　对数式的化简与求值(基础型)
复****指导理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数．
核心素养：数学运算
1．计算：lg－lg 8＋lg 7＝________．
解析：原式＝lg 4＋lg 2－lg 7－lg 8＋lg 7＋lg 5＝2lg 2＋(lg 2＋lg 5)－2lg 2＝.
答案：
2．计算(lg 2)2＋lg 2·lg 50＋lg 25的结果为____