2022届高考数学一轮复习（人教版）第3章 §3.2　导数与函数的单调性.docx

§3.2　导数与函数的单调性
[考试要求]　1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．
函数的单调性与导数的关系
条件
恒有
结论
函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导
f′(x)>0
f(x)在(a，b)上单调递增
f′(x)<0
f(x)在(a，b)上单调递减
f′(x)＝0
f(x)在(a，b)上是常数函数
微思考
1．“f′(x)>0在(a，b)上成立”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的什么条件？
提示　若f(x)在(a，b)上单调递增，则f′(x)≥0，所以“f′(x)>0在(a，b)上成立”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的充分不必要条件．
2．若函数f(x)在区间(a，b)上存在递增区间，则在区间(a，b)上，f′(x)应满足什么条件？
提示　若f(x)在(a，b)上存在递增区间，则当x∈(a，b)时，f′(x)>0有解．
题组一　思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性．(　√　)
(2)在(a，b)内f′(x)≤0且f′(x)＝0的根有有限个，则f(x)在(a，b)内单调递减．(　√　)
(3)若函数f(x)在定义域上都有f′(x)>0，则f(x)在定义域上一定单调递增．(　×　)
(4)函数f(x)＝x－sin x在R上是增函数．(　√　)
题组二　教材改编
2.如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，则下列判断正确的是(　　)
A．在区间(－2,1)上f(x)单调递增
B．在区间(1,3)上f(x)单调递减
C．在区间(4,5)上f(x)单调递增
D．在区间(3,5)上f(x)单调递增
答案　C
解析　在(4,5)上f′(x)>0恒成立，∴f(x)在区间(4,5)上单调递增．
3．函数y＝xcos x－sin x在下面哪个区间上单调递增(　　)
A. B．(π，2π)
C. D．(2π，3π)
答案　B
解析　y′＝－xsin x，
经验证，4个选项中只有在(π，2π)内y′>0恒成立，
∴y＝xcos x－sin x在(π，2π)上单调递增．
4．函数f(x)＝(x－2)ex的单调递增区间为________．
答案　(1，＋∞)
解析　f(x)的定义域为R，
f′(x)＝(x－1)ex，
令f′(x)＝0，得x＝1，
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0；
当x∈(－∞，1)时，f′(x)<0，
∴f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)．
题组三　易错自纠
5．若函数f(x)＝x3－x2＋ax＋4的单调递减区间为[－1,4]，则实数a的值为________．
答案　－4
解析　f′(x)＝x2－3x＋a，且f(x)的单调递减区间为[－1,4]，∴f′(x)＝x2－3x＋a≤0的解集为[－1,4]，
∴－1,4是方程f′(x)＝0的两根，
则a＝(－1)×4＝－4.
6．若y＝x＋(a>0)在[2，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是________．
答案　(0,2]
解析　方法一　由y′＝1－≥0，得x≤－a或x≥a.
∴y＝x＋的单调递增区间为(－∞，－a]，[a，＋∞)．
∵函数在[2，＋∞)上单调递增，
∴[2，＋∞)⊆[a，＋∞)，∴a≤2.又a>0，∴0<a≤2.
方法二　y′＝1－，依题意知1－≥0在x∈[2，＋∞)上恒成立，即a2≤x2恒成立，
∵x∈[2，＋∞)，∴x2≥4，
∴a2≤4，又a>0，∴0<a≤2.
题型一 不含参的函数的单调性
1．函数f(x)＝x2－2ln x的单调递减区间是(　　)
A．(0,1) B．(1，＋∞)
C．(－∞，1) D．(－1,1)
答案　A
解析　∵f′(x)＝2x－＝(x>0)，
令f′(x)＝0，得x＝1，
∴当x∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增．
2．函数f(x)＝x＋2的单调递增区间是(　　)
A．(0,1) B．(－∞，1)
C．(－∞，0) D．(0，＋∞)
答案　C
解析　f(x)的定义域为(－∞，1]，
f′(x)＝1－，令f′(x)＝0，得x＝0.
当0<x<1时，f′(x)<0.当x<0时，f′(x)>0.
∴f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为(0,1)．
3．已知定义在区间(0，π