2023年高考数学二轮复习（人教版）第2部分 考前回扣　回扣5　立体几何与空间向量.docx

回扣5　立体几何与空间向量
1．柱、锥、台、球体的表面积和体积
侧面展开图
表面积
体积
直棱柱
长方形
S＝2S底＋S侧
V＝S底·h
圆柱
长方形
S＝2πr2＋2πrl
V＝πr2·l
棱锥
由若干个三角形构成
S＝S底＋S侧
V＝S底·h
圆锥
扇形
S＝πr2＋πrl
V＝πr2·h
圆台
扇环
S＝S上＋S下＋S侧
S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)
V＝(S上＋＋S下)h
V＝π(r′2＋r′r＋r2)h
球
S＝4πr2
V＝πr3
2.外接球、内切球问题
(1)长方体的外接球的直径为体对角线，正方体的内切球的直径为正方体的棱长．
(2)正四面体的外接球、内切球球心重合，且在垂线上，R外接球∶r内切球＝3∶1.
(3)直棱柱的外接球球心为上、下底面的外心连线的中点．
(4)棱锥中若有三条侧棱两两垂直，一般补成长方体．
(5)棱锥中若有一条侧棱垂直于底面，一般补成直棱柱，如图①②.
(6)三棱锥中，若对棱相等，一般补成长方体，使三棱锥的棱为面对角线．
(7)棱锥中若没有侧棱垂直于底面，一般找两个面，再找这两个面的外心，过外心作面的垂线，两垂线的交点即为外接球球心．
3．直观图与斜二测画法
(1)空间几何体的直观图的画法常采用斜二测画法．斜二测画法的规则为“平行要保持，横长不变，纵长减半．”
(2)任何一个平面图形的面积S与它的斜二测画法得到的直观图的面积S′之间的关系为S′＝S.
4．平行、垂直关系的转化示意图
(1)
(2)两个结论
①⇒a∥b；②⇒b⊥α.
5．用空间向量证明平行、垂直
设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α，β的法向量分别为u＝(a2，b2，c2)，v＝(a3，b3，c3)．则有：
(1)线面平行
l∥α⇔a⊥u⇔a·u＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.
(2)线面垂直
l⊥α⇔a∥u⇔a＝ku⇔a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2.
(3)面面平行
α∥β⇔u∥v⇔u＝λv⇔a2＝λa3，b2＝λb3，c2＝λc3.
(4)面面垂直
α⊥β⇔u⊥v⇔u·v＝0⇔a2a3＋b2b3＋c2c3＝0.
6．用向量求空间角
(1)直线l1，l2的夹角θ满足cos θ＝|cos〈a，b〉|(其中a，b分别是直线l1，l2的方向向量)．
(2)直线l与平面α的夹角θ满足sin θ＝|cos〈a，n〉|(其中a是直线l的方向向量，n是平面α的法向量)．
(3)平面α与平面β的夹角为θ，cos θ＝|cos〈n1，n2〉|(其中n1，n2分别是