2024年高考数学一轮复习（人教版） 第1章　§1.1　集　合.docx

§1.1　集　合
考试要求　1.了解集合的含义，了解全集、空集的含义.2.理解元素与集合的属于关系，理解集合间的包含和相等关系.3.会求两个集合的并集、交集与补集.4.能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题，能使用Venn图表示集合间的基本关系和基本运算．
知识梳理
1．集合与元素
(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
(4)常见数集的记法
集合
非负整数集(或自然数集)
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N*(或N＋)
Z
Q
R
2.集合的基本关系
(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)．
(2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)．
(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.
(4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
3．集合的基本运算
表示
运算
集合语言
图形语言
记法
并集
{x|x∈A，或x∈B}
A∪B
交集
{x|x∈A，且x∈B}
A∩B
补集
{x|x∈U，且x∉A}
∁UA
常用结论
1．若集合A有n(n≥1)个元素，则集合A有2n个子集，2n－1个真子集．
2．A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)集合{x∈N|x3＝x}，用列举法表示为{－1,0,1}．(　×　)
(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．(　×　)
(3)若1∈{x2，x}，则x＝－1或x＝1.(　×　)
(4)对任意集合A，B，都有(A∩B)⊆(A∪B)．(　√　)
教材改编题
1．(2022·新高考全国Ⅱ)已知集合A＝{－1,1,2,4}，B＝{x||x－1|≤1}，则A∩B等于(　　)
A．{－1,2} B．{1,2}
C．{1,4} D．{－1,4}
答案　B
解析　由|x－1|≤1，得－1≤x－1≤1，解得0≤x≤2，所以B＝{x|0≤x≤2}，所以A∩B＝{1,2}，故选B.
2．下列集合与集合A＝{2 022,1}相等的是(　　)
A．(1,2 022)
B．{(x，y)|x＝2 022，y＝1}
C．{x|x2－2 023x＋2 022＝0}
D．{(2 022,1)}
答案　C
解析　(1,2 022)表示一个点，不是集合，A不符合题意；
集合{(x，y)|x＝2 022，y＝1}的元素是点，与集合A不相等，B不符合题意；
{x|x2－2 023x＋2 022＝0}＝{2 022,1}＝A，故C符合题意；
集合{(2 022,1)}的元素是点，与集合A不相等，D不符合题意．
3．设全集U＝R，集合A＝{x|－1≤x<3}，B＝{x|2x－4≥x－2}，则A∪B＝________，∁U(A∩B)＝________.
答案　{x|x≥－1}　{x|x<2或x≥3}
解析　因为A＝{x|－1≤x<3}，B＝{x|2x－4≥x－2}＝{x|x≥2}，
所以A∪B＝{x|x≥－1}，A∩B＝{x|2≤x<3}，
∁U(A∩B)＝{x|x<2或x≥3}.
题型一　集合的含义与表示
例1　(1)(2022·衡水模拟)设集合A＝{(x，y)|y＝x}，B＝{(x，y)|y＝x2}，则集合A∩B的元素个数为(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
答案　C
解析　如图，函数y＝x与y＝x2的图象有两个交点，
故集合A∩B有两个元素．
(2)已知集合A＝{1，a－2，a2－a－1}，若－1∈A，则实数a的值为(　　)
A．1 B．1或0
C．0 D．－1或0
答案　C
解析　∵－1∈A，
若a－2＝－1，即a＝1时，A＝{1，－1，－1}，不符合集合元素的互异性；
若a2－a－1＝－1，即a＝1(舍去)或a＝0时，
A＝{1，－2，－1}，
故a＝0.
思维升华　解决集合含义问题的关键有三点：一是确定构成集合的元素；二是确定元素的限制条件；三是根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题．
跟踪训练1　(1)(多选)若集合M＝{x|x－2<0，x∈N}，则下列四个命题中，错误的命题是(　　)
A．0∉M B．{0}∈M