2024年高考数学一轮复习（人教版） 第1章　§1.4　基本不等式.docx

§1.4　基本不等式
考试要求　1.了解基本不等式的推导过程.2.会用基本不等式解决简单的最值问题.3.理解基本不等式在实际问题中的应用．
知识梳理
1．基本不等式：≤
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时，等号成立．
(3)其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数．
2．几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．
(2)＋≥2(a，b同号)．
(3)ab≤2 (a，b∈R)．
(4)≥2 (a，b∈R)．
以上不等式等号成立的条件均为a＝b.
3．利用基本不等式求最值
(1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2.
(2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2.
注意：利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)不等式ab≤2与≤等号成立的条件是相同的．(　×　)
(2)y＝x＋的最小值是2.(　×　)
(3)若x>0，y>0且x＋y＝xy，则xy的最小值为4.(　√　)
(4)函数y＝sin x＋，x∈的最小值为4.(　×　)
教材改编题
1．若正实数a，b满足a＋4b＝ab，则ab的最小值为(　　)
A．16 B．8 C．4 D．2
答案　A
解析　因为正实数a，b满足a＋4b＝ab，
所以ab＝a＋4b≥2＝4，
所以ab≥16，
当且仅当a＝4b，即a＝8，b＝2时等号成立．
2．函数y＝x＋(x≥0)的最小值为________．
答案　1
解析　因为x≥0，所以x＋1>0，>0，
利用基本不等式得y＝x＋＝x＋1＋－1≥2－1＝1，
当且仅当x＋1＝，即x＝0时，等号成立．
所以函数y＝x＋(x≥0)的最小值为1.
3．若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________ m2.
答案　25
解析　设矩形的一边为x m，面积为y m2，
则另一边为×(20－2x)＝(10－x)m，
其中0<x<10，
∴y＝x(10－x)≤2＝25，
当且仅当x＝10－x，即x＝5时，等号成立，
∴ymax＝25，
即矩形场地的最大面积是25 m2.
题型一　利用基本不等式求最值
命题点1　配凑法
例1　(1)已知x>2，则函数y＝x＋的最小值是(　　)
A．2 B．2＋2
C．2 D.＋2
答案　D
解析　由题意可知，x－2>0，
∴y＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝＋2，当且仅当x＝2＋时，等号成立，
∴函数y＝x＋(x>2)的最小值为＋2.
(2)设0<x<，则函数y＝4x(3－2x)的最大值为________．
答案　
解析　∵0<x<，∴3－2x>0，
y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤22＝，
当且仅当2x＝3－2x，即x＝时，等号成立．
∵∈，
∴函数y＝4x(3－2x)的最大值为.
命题点2　常数代换法
例2　已知x>0，y>0，且4x＋2y－xy＝0，则2x＋y的最小值为(　　)
A．16 B．8＋4
C．12 D．6＋4
答案　A
解析　由题意可知＋＝1，
∴2x＋y＝(2x＋y)＝＋＋8≥2＋8＝16，
当且仅当＝，即x＝4，y＝8时，等号成立，
则2x＋y的最小值为16.
命题点3　消元法
例3　(2023·烟台模拟)已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________．
答案　6
解析　方法一　(换元消元法)
由已知得9－(x＋3y)＝xy＝·x·3y≤·2，当且仅当x＝3y，即x＝3，y＝1时取等号．
即(x＋3y)2＋12(x＋3y)－108≥0，
令x＋3y＝t，则t>0且t2＋12t－108≥0，
得t≥6，即x＋3y的最小值为6.
方法二　(代入消元法)
由x＋3y＋xy＝9，得x＝，
所以x＋3y＝＋3y＝
＝＝
＝3(1＋y)＋－6≥2－6
＝12－6＝6，
当且仅当3(1＋y)＝，即y＝1，x＝3时取等号，
所以x＋3y的最小值为6.
延伸探究　本例条件不变，求xy的最大值．
解　9－xy＝x＋3y≥2，
∴9－xy≥2，
令＝t，
∴t>0，
∴9－t2≥2t，
即t2＋2t－9≤0，
解得0<t≤，
∴≤，∴xy≤3，
当且仅当x＝3y，即x＝3，y＝1时取等号，
∴xy的最大值为3.
思维升华　(1)前提：“一正”“二定”“三相等”．
(2)要根