人教版高中数学3.6 三角函数的专题综合运用（精讲）（基础版）（解析版）.docx

3.6 三角函数的专题综合运用（精讲）（基础版）
考点呈现
例题剖析
考点一 正余弦定理的实际应用
【例1】（2022·甘肃平凉·二模）滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》中的“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而流芳后世.如图，若某人在点A测得滕王阁顶端仰角为，此人往膝王阁方向走了42米到达点B，测得滕王阁顶端的仰角为，则滕王阁的高度最接近于（       ）（忽略人的身高）（参考数据：）
A．49米 B．51米 C．54米 D．57米
【答案】D
【解析】设滕王阁的高度为，由题设知：，
所以，则，又，可得米.
故选：D
【一隅三反】
1．（2022·四川泸州·二模）如图，航空测量的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机飞行的海拔高度为10000，速度为50.某一时刻飞机看山顶的俯角为15°，经过420s后看山顶的俯角为45°，则山顶的海拔高度大约为（，）（       ）
A．7350 B．2650 C．3650 D．4650
【答案】B
【解析】如图，设飞机的初始位置为点，经过420s后的位置为点，山顶为点，作于点，
则，所以，
在中，，由正弦定理得，
则，
因为所以，
所以山顶的海拔高度大约为.故选：B.
2．（2022·四川）某课外活动小组，为测量山高，如图，他们在山脚A处测得山顶B的仰角为30°，沿倾斜角为15°的斜坡前进1000 m后到达D处，又测得山顶的仰角为75°，则此山的高度BC约为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】过点D作，交BC于E，
因为，所以，则．
又因为，所以．
在中，由正弦定理，得，
在中，，故山高度约为．
故选：B.
3（2022·河南·鹤壁）魏晋南北朝时期，中国数学的测量学取得了长足进展.刘徽提出重差术，应用中国传统的出入相补原理，因其第一题为测量海岛的高度和距离，故题为《海岛算经》.受此题启发，某同学依照此法测量郑州市二七纪念塔的高度.如图，点D，G，F在水平线DH上，CD和EF是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”测得以下数据（单位：米）：前表却行DG=1，表高CD=EF=2，后表却行FH=3，表距DF=61.则塔高AB=（       ）
A．60米 B．61米 C．62米 D．63米
【答案】D
【解析】根据题意，，，所以，解得．
故选：D.
考点二 正余弦定理的几何应用
【例2】（2021·湖南·高考真题）如图，在中，，点D在BC边上，且，，
（1）求AC的长；
（2）求的值.
【答案】（1）（2）
【解析】（1），，，
在中，由余弦定理得，
（2），所以，又由题意可得，
【一隅三反】
1．（2021·全国·高考真题）记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，.
（1）证明：；
（2）若，求.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）设的外接圆半径为R，由正弦定理，
得，
因为，所以，即．
又因为，所以．
（2）[方法一]【最优解】：两次应用余弦定理
因为，如图，在中，，①
在中，．②
由①②得，整理得．
又因为，所以，解得或，
当时，（舍去）．
当时，．
所以．
[方法二]：等面积法和三角形相似
如图，已知，则，
即，
而，即，
故有，从而．
由，即，即，即，
故，即，
又，所以，
则．
[方法三]：正弦定理、余弦定理相结合
由（1）知，再由得．
在中，由正弦定理得．
又，所以，化简得．
在中，由正弦定理知，又由，所以．
在中，由余弦定理，得．
故．
[方法四]：构造辅助线利用相似的性质
如图，作，交于点E，则．
由，得．
在中，．
在中．
因为，
所以，
整理得．
又因为，所以，
即或．
下同解法1．
[方法五]：平面向量基本定理
因为，所以．
以向量为基底，有．
所以，
即，
又因为，所以．③
由余弦定理得，
所以④
联立③④，得．
所以或．
下同解法1．
[方法六]：建系求解
以D为坐标原点，所在直线为x轴，过点D垂直于的直线为y轴，
长为单位长度建立直角坐标系，
如图所示，则．
由（1）知，，所以点B在以D为圆心，3为半径的圆上运动．
设，则．⑤
由知，，
即．⑥
联立⑤⑥解得或（舍去），，
代入⑥式得，
由余弦定理得．
2．（2022·陕西·宝鸡市渭滨区教研室三模（理））