人教版高中数学5 第5讲　幂函数与二次函数.doc

第5讲　幂函数与二次函数
最新考纲
考向预测
1.了解幂函数的概念.
2.结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x的图象，了解它们的变化情况.
3.掌握二次函数的图象和性质.
4.能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.
命题
趋势
以幂函数的图象与性质的应用为主，常与指数函数、对数函数交汇命题；以二次函数的图象与性质的应用为主，常与方程、不等式等知识交汇命题，着重考查函数与方程、转化与化归及数形结合思想，题型一般为选择、填空题，中档难度.
核心
素养
逻辑推理、直观想象
1．幂函数
(1)定义
形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．常见的五类幂函数为y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1.　
(2)性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；
③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减．
2．二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；
②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)；
③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
(2)二次函数的图象和性质
解析式
f(x)＝ax2＋bx
＋c(a>0)
f(x)＝ax2＋bx
＋c(a<0)
图象
定义域
(－∞，＋∞)
(－∞，＋∞)
值域
单调性
在上单调递减；
在上单调递增
在上单调递增；
在上单调递减
奇偶性
当b＝0时为偶函数，当b≠0时为非奇非偶函数
顶点
对称性
图象关于直线x＝－成轴对称图形
常用结论
幂函数的图象和性质
常见误区
1．易忽视对二次函数的二次项系数的讨论；
2．幂函数定义不清晰，导致出错．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝2x是幂函数．(　　)
(2)当n>0时，幂函数y＝xn在(0，＋∞)上是增函数．(　　)
(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)不可能是偶函数．(　　)
(4)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．(　　)
(5)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是.(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√　(5)×
2．(易错题)已知幂函数y＝f(x)的图象经过点，则f(2)＝(　　)
A．　　　　　　 　　　　 B．4
C． D．
解析：选C.设f(x)＝xα，因为图象过点，所以f(4)＝4α＝，解得α＝－，所以f(2)＝2－＝.
3．已知函数f(x)＝x2＋4ax在区间(－∞，6)上单调递减，则a的取值范围是(　　)
A．[3，＋∞) B．(－∞，3]
C．(－∞，－3) D．(－∞，－3]
解析：选D.函数f(x)＝x2＋4ax的图象是开口向上的抛物线，其对称轴是x＝－2a，由函数在区间(－∞，6)上单调递减可知，区间(－∞，6)应在直线x＝－2a的左侧，所以－2a≥6，解得a≤－3，故选D.
4．函数f(x)＝x2－2x＋3在闭区间[0，3]上的最大值为________，最小值为________．
解析：f(x)＝(x－1)2＋2，0≤x≤3，
所以当x＝1时，f(x)min＝2；当x＝3时，f(x)max＝6.
答案：6　2
5．已知函数f(x)＝ax2＋x＋5的图象在x轴上方，则a的取值范围是________．
解析：因为函数f(x)＝ax2＋x＋5的图象在x轴上方，所以解得
a>.
答案：
　　　　　　幂函数的图象及性质
[题组练透]
1．已知幂函数f(x)＝mxn的图象过点(，2)，设a＝f(m)，b＝f(n)，c＝f(ln 2)，则(　　)
A．c<b<a　　　　　　　　 B．c<a<b
C．b<c<a D．a<b<c
解析：选B.因为函数f(x)＝mxn为幂函数，故m＝1.因为函数f(x)＝mxn的图象过点(，2)，
所以()n＝2，解得n＝3.故函数f(x)＝x3，则函数为增函数，因为n>m>ln 2，故c<a<b，故选B.
2．幂函数y＝xm2－2m－3(m∈Z)的图象如图所示，则实数m的值为(　　)
A．3 B．0
C．1 D．2
解析：选C.因为函数y在(0，＋∞)上单调递减，所以m2－2m－3<0，解得－1<m<3.因为m∈Z，所以m＝0，1，2.而当m＝0或2时，f(x)＝x－3为奇函数，当m＝1时，f(x)＝x－4为偶函数，所