人教版高中数学第1讲　集合的概念与运算.doc

第1讲　集合的概念与运算
一、知识梳理
1．集合与元素
(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
(4)常见数集的记法
集合
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N*(或N＋)
Z
Q
R
[注意]　N为自然数集(即非负整数集)，包含0，而N*和N＋的含义是一样的，表示正整数集，不包含0.
2．集合间的基本关系
　 表示
关系 　
自然语言
符号语言
Venn图
子集
集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B)
A⊆B(或B⊇A)
真子集
集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中
AB(或BA)
集合相等
集合A，B中元素相同
A＝B
3.集合的基本运算
集合的并集
集合的交集
集合的补集
图形语言
符号语言
A∪B＝{x|x∈A或x∈B}
A∩B＝{x|x∈A且x∈}B
∁UA＝{x|x∈U且x∉A}
常用结论三种集合运用的性质
(1)并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A．
(2)交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B．
(3)补集的性质：A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅；∁U(∁UA)＝A；∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)；∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)．
二、教材衍化
1．若集合P＝{x∈N|x≤}，a＝2，则(　　)
A．a∈P B．{a}∈P
C．{a}⊆P D．a∉P
解析：选D．因为a＝2不是自然数，而集合P是不大于的自然数构成的集合，所以a∉P.故选D．
2．设集合A＝{x|－2≤x≤2}，Z为整数集，则集合A∩Z中元素的个数是(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：选C．A中包含的整数元素有－2，－1，0，1，2，共5个，所以A∩Z中的元素个数为5.
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若集合A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{(x，y)|y＝x2}，则A，B，C表示同一个集合．(　　)
(2)若a在集合A中，则可用符号表示为a⊆A．(　　)
(3)若AB，则A⊆B且A≠B．(　　)
(4)N*NZ.(　　)
(5)若A∩B＝A∩C，则B＝C．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)×
二、易错纠偏
常见误区(1)忽视集合中元素的互异性致错；
(2)集合运算中端点取值致错；
(3)忘记空集的情况导致出错．
1．已知集合U＝{－1，0，1}，A＝{x|x＝m2，m∈U}，则∁UA＝________．
解析：因为A＝{x|x＝m2，m∈U}＝{0，1}，所以∁UA＝{－1}．
答案：{－1}
2．已知集合A＝{x|(x－1)(x－3)<0}，B＝{x|2<x<4}，则A∩B＝________，A∪B＝________，(∁RA)∪B＝________.
解析：由已知得A＝{x|1<x<3}，B＝{x|2<x<4}，
所以A∩B＝{x|2<x<3}，A∪B＝{x|1<x<4}，(∁RA)∪B＝{x|x≤1或x>2}．
答案：(2，3)　(1，4)　(－∞，1]∪(2，＋∞)
3．已知集合M＝{x|x－a＝0}，N＝{x|ax－1＝0}，若M∩N＝N，则实数a的值是________．
解析：易得M＝{a}．因为M∩N＝N，
所以N⊆M，
所以N＝∅或N＝M，
所以a＝0或a＝±1.
答案：0或1或－1
考点一　集合的概念(基础型)
复****指导 1.了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系．
2．能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用．
核心素养：数学抽象
1．设集合A＝{x∈Z||x|≤2}，B＝{y|y＝x2＋1，x∈A}，则B中的元素有(　　)
A．5个 B．4个
C．3个 D．无数个
解析：选C．依题意有A＝{－2，－1，0，1，2}，代入y＝x2＋1得到B＝{1，2，5}，故B中有3个元素．
2．设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝，则b－a＝(　　)
A．1 B．－1
C．2 D．－2
解析：选C．因为{1，a＋b，a}＝，a≠0，所以a＋b＝0，则＝－1，所以a＝－1，b＝1.所以b－a＝2.
3．已知集