人教版高中数学第2讲　直接证明与间接证明.doc

第2讲　直接证明与间接证明
一、选择题
1.若a，b∈R，则下面四个式子中恒成立的是(　　)
A.lg(1＋a2)>0 B.a2＋b2≥2(a－b－1)
C.a2＋3ab>2b2 D.<
解析　在B中，∵a2＋b2－2(a－b－1)＝(a2－2a＋1)＋(b2＋2b＋1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，∴a2＋b2≥2(a－b－1)恒成立.
答案　B
2.用反证法证明命题：“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设(　　)
A.三个内角都不大于60°
B.三个内角都大于60°
C.三个内角至多有一个大于60°
D.三个内角至多有两个大于60°
答案　B
3.已知m>1，a＝－，b＝－，则以下结论正确的是(　　)
A.a>b B.a<b
C.a＝b D.a，b大小不定
解析　∵a＝－＝，
b＝－＝.
而＋>＋＞0(m＞1)，
∴<，即a<b.
答案　B
4.分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，求证＜a”索的因应是(　　)
A.a－b＞0 B.a－c＞0
C.(a－b)(a－c)＞0 D.(a－b)(a－c)＜0
解析　由题意知＜a⇐b2－ac＜3a2
⇐(a＋c)2－ac＜3a2
⇐a2＋2ac＋c2－ac－3a2＜0
⇐－2a2＋ac＋c2＜0
⇐2a2－ac－c2＞0
⇐(a－c)(2a＋c)＞0⇐(a－c)(a－b)＞0.
答案　C
5.①已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2，用反证法证明时，可假设p＋q≥2；②已知a，b∈R，|a|＋|b|<1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1.以下正确的是(　　)
A.①与②的假设都错误
B.①与②的假设都正确
C.①的假设正确；②的假设错误
D.①的假设错误；②的假设正确
解析　反证法的实质是否定结论，对于①，其结论的反面是p＋q＞2，所以①不正确；对于②，其假设正确.
答案　D
二、填空题
6.＋与2＋的大小关系为________.
解析　要比较＋与2＋的大小，
只需比较(＋)2与(2＋)2的大小，
只需比较6＋7＋2与8＋5＋4的大小，
只需比较与2的大小，只需比较42与40的大小，∵42>40，∴＋>2＋.
答案　＋>2＋
7.用反证法证明命题“a，b∈R，ab可以被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”，那么假设的内容是__________________.
答案　都不能被5整除
8.下列条件：①ab>0，②ab<0，③a>0，b>0，④a<0，b<0，其中能使＋≥2成立的条件的序号是________.
解析　要使＋≥2，只需>0成立，即a，b不为0且同号即可，故①③④能使＋≥2成立.
答案　①③④
三、解答题
9.若a，b，c是不全相等的正数，求证：
lg＋lg＋lg＞lg a＋lg b＋lg c.
证明　∵a，b，c∈(0，＋∞)，
∴≥＞0，≥＞0，≥＞0.
又上述三个不等式中等号不能同时成立.
∴··＞abc成立.
上式两边同时取常用对数，
得lg＞lg abc，
∴lg＋lg＋l