人教版高中数学第2节 常用逻辑用语.doc

第2节　常用逻辑用语
考试要求　1.理解充分条件、必要条件、充要条件的含义.2.理解判定定理与充分条件的关系、性质定理与必要条件的关系.3.理解全称量词命题与存在量词命题的含义，能正确对两种命题进行否定.
1.充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件
p⇒q且q⇒ p
p是q的必要不充分条件
p⇒q且q⇒p
p是q的充要条件
p⇔q
p是q的既不充分也不必要条件
p⇒q且q⇒p
2.全称量词与存在量词
(1)全称量词：短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示.
(2)存在量词：短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示.
3.全称量词命题和存在量词命题
名称
全称量词命题
存在量词命题
结构
对M中的任意一个x，有p(x)成立
存在M中的元素x，p(x)成立
简记
∀x∈M，p(x)
∃x∈M，p(x)
否定
∃x∈M，綈p(x)
∀x∈M，綈p(x)
1.区别A是B的充分不必要条件(A⇒B且B⇒ A)，与A的充分不必要条件是B(B⇒A且A⇒B)两者的不同.
2.充要关系与集合的子集之间的关系，设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，
(1)若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件.
(2)若AB，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件.
(3)若A＝B，则p是q的充要条件.
3.p是q的充分不必要条件，等价于綈q是綈p的充分不必要条件.
4.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”.
5.对省略了全称量词的命题否定时，要对原命题先加上全称量词再对其否定.
6.命题p和綈p的真假性相反，若判断一个命题的真假有困难时，可判断此命题的否定的真假.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)至少有一个三角形的内角和为π是全称量词命题.(　　)
(2)写全称量词命题的否定时，全称量词变为存在量词.(　　)
(3)当p是q的充分条件时，q是p的必要条件.(　　)
(4)若已知p：x＞1和q：x≥1，则p是q的充分不必要条件.(　　)
答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√
解析　(1)错误，至少有一个三角形的内角和为π是存在量词命题.
2.(易错题)设x＞0，y∈R，则“x＞y”是“x＞|y|”的(　　)
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
答案　C
解析　由x＞y推不出x＞|y|，由x＞|y|能推出x＞y，所以“x＞y”是“x＞|y|”的必要不充分条件.
3.(易错题)命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≤x2”的否定是(　　)
A.∀x∈R，∃n∈N*，使得n＞x2
B.∀x∈R，∀n∈N*，使得n＞x2
C.∃x∈R，∃n∈N*，使得n＞x2
D.∃x∈R，∀n∈N*，使得n＞x2
答案　D
解析　含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”，可知选D.
4.(多选)(2021·山东新高考模拟)已知两条直线l，m及三个平面α，β，γ，则α⊥β的充分条件是(　　)
A.l⊂α，l⊥β B.l⊥α，m⊥β，l⊥m
C.α⊥γ，β∥γ D.l⊂α，m⊂β，l⊥m
答案　ABC
解析　由面面垂直的判定可以判断A，B，C符合题意；对于D，l⊂α，m⊂β，l⊥m，也可以得到α∥β，D不符合题意.故选ABC.
5.(2021·浙江卷)已知非零向量a，b，c，则“a·c＝b·c”是“a＝b”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
答案　B
解析　由a·c＝b·c可得(a－b)·c＝0，所以(a－b)⊥c或a＝b，所以“a·c＝b·c”是“a＝b”的必要不充分条件.故选B.
6.(易错题)命题“∀x∈R，ax2－ax＋1＞0”为真命题，则实数a的取值范围是________.
答案　[0，4)
解析　①当a＝0时，1＞0恒成立，∴a＝0满足条件，
②当a≠0时，解得0＜a＜4.
综上，0≤a＜4.
　考点一　充分、必要条件的判定
例1 (1)已知p：∀x∈R，mx2－2mx＋1＞0，q：指数函数f(x)＝mx(m＞0，且m≠1)为减函数，则p是q的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
答案　B
解析　当m＝0时，1＞0成立；
当m≠0时，可得解得0＜m＜1.
由p得出P＝{m|0≤m＜1}，由q得出Q＝{m|0