人教版高中数学第3讲　等比数列及其前n项和.doc

第3讲　等比数列及其前n项和
一、知识梳理
1．等比数列的有关概念
(1)定义：
①文字语言：一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数(非零)．
②符号语言：＝q(n∈N*，q为非零常数)．
(2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即G2＝ab．
2．等比数列的有关公式
(1)通项公式：an＝a1qn－1．
(2)前n项和公式：Sn＝
3．等比数列的性质
已知数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和．(m，n，p，q，r，k∈N*)
(1)若m＋n＝p＋q＝2r，则am·an＝ap·aq＝a；
(2)数列am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等比数列；
(3)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍是等比数列(此时{an}的公比q≠－1)．
常用结论
1．等比数列的单调性
当q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0时，{an}是递增数列；
当q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0时，{an}是递减数列；
当q＝1时，{an}是常数列．
2．等比数列与指数函数的关系
当q≠1时，an＝·qn，可以看成函数y＝cqx，是一个不为0的常数与指数函数的乘积，因此数列{an}各项所对应的点都在函数y＝cqx的图象上．
3．等比数列{an}的前n项和Sn＝A＋B·Cn⇔A＋B＝0，公比q＝C(A，B，C均不为零)
二、教材衍化
1．对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是(　　)
A．a1，a3，a9成等比数列　　 B．a2，a3，a6成等比数列
C．a2，a4，a8成等比数列 D．a3，a6，a9成等比数列
解析：选D．设等比数列的公比为q，则a3＝a1q2，a6＝a1q5，a9＝a1q8，满足(a1q5)2＝a1q2·a1q8，
即a＝a3·a9.
2．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1＋a3＝，a2＋a4＝，则q＝________．
答案：2
3．在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________．
解析：设该数列的公比为q，由题意知，
243＝9×q3，得q3＝27，所以q＝3.
所以插入的两个数分别为9×3＝27，27×3＝81.
答案：27，81
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的比都是常数，则这个数列是等比数列．(　　)
(2)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac.(　　)
(3)满足an＋1＝qan(n∈N*，q为常数)的数列{an}为等比数列．(　　)
(4)如果{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}也是等比数列．(　　)
(5)等比数列中不存在数值为0的项．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√
二、易错纠偏
(1)运用等比数列的前n项和公式时，忽略q＝1的情况；
(2)忽视等比数列的项不为0；
(3)对等比数列项的符号不能作出正确判断．
1．已知在等比数列{an}中，a3＝7，前三项之和S3＝21，则公比q的值是(　　)
A．1　　　　　　　　　　 B．－
C．1或－ D．－1或
解析：选C．当q＝1时，an＝7，S3＝21，符合题意；当q≠1时，得q＝－.综上，q的值是1或－，故选C．
2．已知x，2x＋2，3x＋3是一个等比数列的前三项，则x的值为________．
解析：因为x，2x＋2，3x＋3是一个等比数列的前三项，
所以(2x＋2)2＝x(3x＋3)，
即x2＋5x＋4＝0，
解得x＝－1或x＝－4.
当x＝－1时，数列的前三项为－1，0，0，
不是等比数列，舍去．
答案：－4
3．在等比数列{an}中，a2＝4，a10＝16，则a2和a10的等比中项为________．
解析：设a2与a10的等比中项为G，
因为a2＝4，a10＝16，
所以G2＝4×16＝64，所以G＝±8.
答案：±8
考点一　等比数列的基本运算(基础型)
探索并掌握等比数列的通项公式与前n项和的公式．
核心素养：数学运算
(1)(一题多解)(2019·高考全国卷Ⅰ)记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a1＝1，S3＝，则S4＝________．
(2)已知{an}是各项均为正数的等比数列，a1＝2，a3＝2a2＋16.则an＝________．
【解析】　(1)通解：设等比数列{an}的公比为q，由a1＝1及S3＝，易知q≠1.把a1＝1代入S3＝＝，得1＋q＋q2＝，解得q＝－，所