人教版高中数学第3讲　平面向量的数量积及应用举例.doc

第3讲　平面向量的数量积及应用举例
一、知识梳理
1．向量的夹角
(1)定义：已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角．
(2)范围：向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°．
[注意]　当a与b同向时，θ＝0°；a与b反向时，θ＝180°；a与b垂直时，θ＝90°.
2．平面向量的数量积
定义
设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|·cos_θ叫做a与b的数量积，记作a·b
投影
|a|cos_θ叫做向量a在b方向上的投影，
|b|cos_θ叫做向量b在a方向上的投影
几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos_θ的乘积
[注意]　投影和两向量的数量积都是数量，不是向量．
3．向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a.
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
4．平面向量数量积的坐标运算及有关结论
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，a·b＝x1x2＋y1y2.
结论
几何表示
坐标表示
模
|a|＝
|a|＝
夹角
cos θ＝
cos θ＝
a⊥b的充要条件
a·b＝0
x1x2＋y1y2＝0
常用结论
(1)两向量a与b为锐角⇔a·b＞0且a与b不共线．
(2)两向量a与b为钝角⇔a·b＜0且a与b不共线．
(3)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.
(4)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
(5)a与b同向时，a·b＝|a||b|.
(6)a与b反向时，a·b＝－|a||b|.
二、教材衍化
已知a·b＝－12，|a|＝4，a和b的夹角为135°，则|b|为(　　)
A．12 B．6
C．3 D．3
解析：选B．a·b＝|a|·|b|cos 135°＝－12，所以|b|＝＝6.
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．(　　)
(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．(　　)
(3)由a·b＝0可得a＝0或b＝0.(　　)
(4)(a·b)c＝a(b·c)．(　　)
(5)两个向量的夹角的范围是.(　　)
(6)若a·b>0，则a和b的夹角为锐角；若a·b<0，则a和b的夹角为钝角．(　　)
答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)×　(5)×　(6)×
二、易错纠偏
常见误区(1)没有找准向量的夹角致误；
(2)不理解向量的数量积的几何意义致误；
(3)向量的数量积的有关性质应用不熟练致误．
1．在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝，则·的值为________．
解析：在△ABC中，由余弦定理得cos A＝＝＝.
所以·＝||||cos(π－A)＝－||||·cos A＝－3×2×＝－.
答案：－
2．已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，则向量b在向量a方向上的投影为________．
解析：由数量积的定义知，b在a方向上的投影为|b|cos θ＝4×cos 120°＝－2.
答案：－2
3．已知向量a与b的夹角为，|a|＝|b|＝1，且a⊥(a－λb)，则实数λ＝________．
解析：由题意，得a·b＝|a||b|cos ＝，因为a⊥(a－λb)，所以a·(a－λb)＝|a|2－λa·b＝1－＝0，所以λ＝2.
答案：2
考点一　平面向量数量积的运算(基础型)
复****指导1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.体会平面向量的数量积与向量投影的关系．
3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．
核心素养：数学运算、数学抽象
(一题多解)(2019·高考天津卷)在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝2，AD＝5，∠A＝30°，点E在线段CB的延长线上，且AE＝BE，则·＝________．
【解析】　法一：在等腰△ABE中，易得∠BAE＝∠ABE＝30°，故BE＝2，则·＝(－)·(＋)＝·＋·－－·＝5×2×cos 30°＋5×2×cos 180°－12－2×2×cos 150°＝15－10－12＋6＝－1.
法二：在△ABD中，由余弦定理可得
BD＝＝，
所以cos∠ABD＝＝－，则sin∠ABD＝.设与的夹角为θ，则cos θ＝cos(180°－∠ABD＋30°)＝－cos(∠ABD－30°)＝－cos∠ABD·cos 30°－sin∠ABD·sin 30°＝－，在△A