人教版高中数学第3节 成对数据的统计分析.doc

第3节　成对数据的统计分析
考试要求　1.了解样本相关系数的统计含义.2.了解一元线性回归模型和2×2列联表，会运用这些方法解决简单的实际问题.3.会利用统计软件进行数据分析.
1.变量的相关关系
(1)相关关系
两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系.
(2)相关关系的分类：正相关和负相关.
(3)线性相关
一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，我们就称这两个变量线性相关.
一般地，如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，那么我们就称这两个变量非线性相关或曲线相关.
2.样本相关系数
(1)相关系数r的计算
变量x和变量y的样本相关系数r的计算公式如下：
(2)相关系数r的性质
①当r>0时，称成对样本数据正相关；当r<0时，成对样本数据负相关；当r＝0时，成对样本数据间没有线性相关关系.
②样本相关系数r的取值范围为[－1，1].
当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；
当|r|越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱.
3.一元线性回归模型
(1)经验回归方程与最小二乘法
我们将＝x＋称为Y关于x的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线.这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的，叫做b，a的最小二乘估计，
其中

(2)利用决定系数R2刻画回归效果
，R2越大，即拟合效果越好，R2越小，模型拟合效果越差.
4.列联表与独立性检验
(1)2×2列联表
一般地，假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其2×2列联表为
x
y
合计
y＝y1
y＝y2
x＝x1
a
b
a＋b
x＝x2
c
d
c＋d
合计
a＋c
b＋d
n＝a＋b＋c＋d
(2)临界值
χ2＝.忽略χ2的实际分布与该近似分布的误差后，对于任何小概率值α，可以找到相应的正实数xα，使得P(χ2≥xα)＝α成立.我们称xα为α的临界值，这个临界值就可作为判断χ2大小的标准.
(3)独立性检验
基于小概率值α的检验规则是：
当χ2≥xα时，我们就推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过α；
当χ2＜xα时，我们没有充分证据推断H0不成立 ，可以认为X和Y独立.
这种利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简称独立性检验.
下表给出了χ2独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
1.求解经验回归方程的关键是确定回归系数，，应充分利用回归直线过样本点的中心(，).
2.根据经验回归方程计算的值，仅是一个预报值，不是真实发生的值.
3.根据χ2的值可以判断两个分类变量有关的可信程度，若χ2越大，则两分类变量有关的把握越大.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)“名师出高徒”可以解释为教师的教学水平与学生的水平成正相关关系.(　　)
(2)通过经验回归方程＝x＋可以估计预报变量的取值和变化趋势.(　　)
(3)只有两个变量有相关关系，所得到的回归模型才有预测价值.(　　)
(4)事件X，Y关系越密切，则由观测数据计算得到的χ2的值越大.(　　)
答案　(1)√　(2)√　(3)√　(4)√
2.(多选)在统计中，由一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)利用最小二乘法得到两个变量的经验回归方程为＝x＋，那么下列说法正确的是(　　)
A.相关系数r不可能等于1
B.直线＝x＋必经过点(，)
C.直线＝x＋表示最接近y与x之间真实关系的一条直线
D.相关系数为r，且|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越接近于0，相关程度越小
答案　BCD
解析　相关系数的取值范围是|r|≤1，故A错误；直线＝x＋必过样本点中心即点(，)，故B正确；直线＝x＋是采用最小二乘法求解出的直线方程，接近真实关系，故C正确；相关系数r的绝对值越接近于1，表示相关程度越强，越接近于0，相关程度越弱，故D正确.
3.(2022·烟台模拟)某校为了研究“学生的性别”和“对待某一活动的态度”是否有关，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算χ2＝7.069，则认为“学生性别与支持某项活动有关系”的犯错误的概率不超过(　　)
A.0.1% B.1% C.99% D.99.9%
答案　B
解析　∵χ2