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人教版高中数学第3节 等比数列及其前n项和.doc


高中 高二 下学期 数学 人教版

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人教版高中数学第3节 等比数列及其前n项和.doc
文档介绍:
第3节 等比数列及其前n项和
考试要求 1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.
3.了解等比数列与指数函数的关系.
1.等比数列的概念
(1)定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q表示(显然q≠0).
数学语言表达式:=q(n≥2,q为非零常数).
(2)等比中项:如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项.此时G2=ab.
2.等比数列的通项公式及前n项和公式
(1)若等比数列{an}的首项为a1,公比是q,则其通项公式为an=a1qn-1;
通项公式的推广:an=amqn-m.
(2)等比数列的前n项和公式:当q=1时,Sn=na1;当q≠1时,Sn==.
3.等比数列的性质
已知{an}是等比数列,Sn是数列{an}的前n项和.
(1)若k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则有ak·al=am·an.
(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列,即ak,ak+m,ak+2m,…仍是等比数列,公比为qm.
(3)当q≠-1,或q=-1且n为奇数时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…仍成等比数列,其公比为qn.
1.若数列{an},{bn}(项数相同)是等比数列,则数列{c·an}(c≠0),{|an|},{a},,{an·bn},也是等比数列.
2.由an+1=qan,q≠0,并不能立即断言{an}为等比数列,还要验证a1≠0.
3.在运用等比数列的前n项和公式时,必须注意对q=1与q≠1分类讨论,防止因忽略q=1这一特殊情形而导致解题失误.
4.三个数成等比数列,通常设为,x,xq;四个符号相同的数成等比数列,通常设为,,xq,xq3.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)等比数列公比的q是一个常数,它可以是任意实数.(  )
(2)三个数a,b,c成等比数列的充要条件是b2=ac.(  )
(3)数列{an}的通项公式是an=an,则其前n项和为Sn=.(  )
(4)数列{an}为等比数列,则S4,S8-S4,S12-S8成等比数列.(  )
答案 (1)× (2)× (3)× (4)×
解析 (1)在等比数列中,q≠0.
(2)若a=0,b=0,c=0满足b2=ac,但a,b,c不成等比数列.
(3)当a=1时,Sn=na.
(4)若a1=1,q=-1,则S4=0,S8-S4=0,S12-S8=0,不成等比数列.
2.设b∈R,数列{an}的前n项和Sn=3n+b,则(  )
A.{an}是等比数列
B.{an}是等差数列
C.当b=-1时,{an}是等比数列
D.当b≠-1时,{an}是等比数列
答案 C
解析 当n=1时,a1=S1=3+b,
当n≥2,an=Sn-Sn-1=(3n+b)-(3n-1+b)=2·3n-1,
当b=-1时,a1=2适合an=2·3n-1,{an}为等比数列.
当b≠-1时,a1不适合an=2·3n-1,{an}不是等比数列.
3.(2021·全国甲卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若S2=4,S4=6,则S6=(  )
A.7 B.8 C.9 D.10
答案 A
解析 易知S2,S4-S2,S6-S4构成等比数列,由等比中项得S2(S6-S4)=(S4-S2)2,即4(S6-6)=22,所以S6=7.
4.(多选)若{an}是公比为q(q≠0)的等比数列,记Sn为{an}的前n项和,则下列说法正确的是(  )
A.若a1>0,0<q<1,则{an}为递减数列
B.若a1<0,0<q<1,则{an}为递增数列
C.若q>0,则S4+S6>2S5
D.若bn=,则{bn}是等比数列
答案 ABD
解析 A,B显然是正确的;
C中,若a1=1,q=,则a6<a5,即S6-S5<S5-S4,故C错误;
D中,==(q≠0),∴{bn}是等比数列.故选ABD.
5.(2022·百校大联考)已知在等比数列{an}中,a1a3a11=8,则a2a8=________.
答案 4
解析 设公比为q,则an=a1qn-1,则a1·a1q2·a1q10=8,所以aq12=8,所以a1q4=2,所以a2a8=a1q·a1q7=aq8=(a1q4)2=4.
6.(易错题)已知在等比数列{an}中,a3=7,前三项之和S3=21,则公比q的值是________.
答案 1或-
解析 当q=1时,a3=7,S3=21,符合题意;
当q≠1时,得q=-.
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