人教版高中数学第4讲　第1课时　三角函数的图象与性质(一).doc

第4讲　三角函数的图象与性质
一、知识梳理
1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，，(π，0)，，(2π，0)．
(2)余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，，(π，－1)，，(2π，1)．
2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象
定义域
R
R
{x|x≠kπ＋，k∈Z}
值域
[－1，1]
[－1，1]
R
函数的最值
最大值1，当且仅当x＝2kπ＋，k∈Z；最小值－1，当且仅当x＝2kπ－，k∈Z
最大值1，当且仅当x＝2kπ，k∈Z；　　　
最小值－1，当且仅当x＝2kπ－π，k∈Z
无最大值和最小值
单调性
增区间[k·2π－，k·2π＋](k∈Z)；
减区间[k·2π＋，k·2π＋](k∈Z)
增区间[k·2π－π，k·2π](k∈Z)；
减区间[k·2π，k·2π＋π](k∈Z)
增区间(k·π－，k·π＋)(k∈Z)
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
周期性
周期为2kπ，k≠0，k∈
周期为2kπ，k≠0，k∈
周期为kπ，k≠0，k∈
Z，最小正周期为2π
Z，最小正周期为2π
Z，最小正周期为π
对称性
对称中心
(kπ，0)，k∈Z
，k∈Z
，k∈Z
对称轴
x＝kπ＋，k∈Z
x＝kπ，k∈Z
无对称轴
零点
kπ，k∈Z
kπ＋，k∈Z
kπ，k∈Z
3.周期函数的定义
对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期；函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的周期均为T＝；函数y＝Atan(ωx＋φ)的周期为T＝.
常用结论
1．函数y＝sin x与y＝cos x的对称轴分别是经过其图象的最高点或最低点且垂直于x轴的直线，如y＝cos x的对称轴为x＝kπ(k∈Z)，而不是x＝2kπ(k∈Z)．
2．对于y＝tan x不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间(k∈Z)内为增函数．
二、教材衍化
1．若函数y＝2sin 2x－1的最小正周期为T，最大值为A，则(　　)
A．T＝π，A＝1 B．T＝2π，A＝1
C．T＝π，A＝2 D．T＝2π，A＝2
答案：A
2．函数y＝tan 2x的定义域是(　　)
A． B．
C． D．
答案：D
3．函数y＝3－2cos的最大值为________，此时x＝________．
答案：5　＋2kπ(k∈Z)
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)y＝cos x在第一、二象限内是减函数．(　　)
(2)若y＝ksin x＋1，x∈R，则y的最大值是k＋1.(　　)
(3)若非零实数T是函数f(x)的周期，则kT(k是非零整数)也是函数f(x)的周期．(　　)
(4)函数y＝sin x图象的对称轴方程为x＝2kπ＋(k∈Z)．(　　)
(5)函数y＝tan x在整个定义域上是增函数．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)×
二、易错纠偏
常见误区(1)忽视y＝Asin x(或y＝Acos x)中A对函数单调性的影响；
(2)忽视正、余弦函数的有界性；
(3)不注意正切函数的定义域．
1．函数y＝1－2cos x的单调递减区间是________．
答案：[2kπ－π，2kπ](k∈Z)
2．函数f(x)＝sin2x＋cos x－的最大值是________．
解析：f(x)＝sin2x＋cos x－＝1－cos2x＋cos x－＝－＋1，cos x∈[0，1]，当cos x＝时，f(x)取得最大值1.
答案：1
3．函数y＝cos xtan x的值域是________．
解析：y＝cos xtan x＝sin x
又cos x≠0，
所以sin x≠±1，
所以y＝sin x∈(－1，1)．
答案：(－1，1)
第1课时　三角函数的图象与性质(一)
考点一　三角函数的定义域(基础型)
求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．
1．函数f(x)＝－2tan的定义域是(　　)
A．　　　　　　
B．
C．
D．
解析：选D．由2x＋≠kπ＋，得x