人教版高中数学第4讲　数列求和.doc

第4讲　数列求和
考点一　分组转化法求和(基础型)
分组转化法求和是把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．
已知数列{an}的前n项和Sn＝，n∈N*.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝2an＋(－1)nan，求数列{bn}的前2n项和．
【解】　(1)当n＝1时，a1＝S1＝1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝n.
a1也满足an＝n，故数列{an}的通项公式为an＝n.
(2)由(1)知an＝n，故bn＝2n＋(－1)nn.
记数列{bn}的前2n项和为T2n，
则T2n＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n)．
记A＝21＋22＋…＋22n，B＝－1＋2－3＋4－…＋2n，
则A＝＝22n＋1－2，
B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n]＝n.
故数列{bn}的前2n项和T2n＝A＋B＝22n＋1＋n－2.
分组转化法求和的常见类型
(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求{an}的前n项和．
(2)通项公式为an＝的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组转化法求和．　
1．(2020·资阳诊断)已知数列{an}中，a1＝a2＝1，an＋2＝则数列{an}的前20项和为(　　)
A．1 121 B．1 122
C．1 123 D．1 124
解析：选C．由题意可知，数列{a2n}是首项为1，公比为2的等比数列，数列{a2n－1}是首项为1，公差为2的等差数列，故数列{an}的前20项和为＋10×1＋×2＝1 123.选
C．
2．(2020·吉林长春质量监测(二))各项均为整数的等差数列{an}，其前n项和为Sn，a1＝－1，a2，a3，S4＋1成等比数列．
(1)求{an}的通项公式；
(2)求数列{(－1)n·an}的前2n项和T2n.
解：(1)设等差数列{an}的公差为d，
因为a1＝－1，a2，a3，S4＋1成等比数列，
所以a＝a2·(S4＋1)，
即(－1＋2d)2＝(－1＋d)(－3＋6d)，解得d＝2，
所以数列{an}的通项公式为an＝2n－3.
(2)由(1)可知an－an－1＝2(n≥2)，
所以T2n＝(－a1＋a2)＋(－a3＋a4)＋…＋(－a2n－1＋a2n)＝2n.
考点二　错位相减法求和(综合型)
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n项和可用错位相减法求解．
(2020·郑州市第二次质量预测)已知数列{an}中，a1＝1，an＞0，前n项和为Sn，若an＝＋(n∈N*，且n≥2)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)记cn＝an·2an，求数列{cn}的前n项和Tn.
【解】　(1)在数列{an}中，an＝Sn－Sn－1(n≥2)　①，
因为an＝＋　②，且an＞0，所以①÷②得－＝1(n≥2)，
所以数列{}是以＝＝1为首项，公差为1的等差数列，所以＝1＋(n－1)×1＝n，所以Sn＝n2.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1，
当n＝1时，a1＝1，也满足上式，
所以数列{an}的通项公式为an＝2n－1.
(2)由(1)知，an＝2n－1，所以cn＝(2n－1)×22n－1，
则Tn＝1×2＋3×23＋5×25＋…＋(2n－1)×22n－1，
4Tn＝1×23＋3×25＋5×27＋…＋(2n－3)×22n－1＋(2n－1)×22n＋1，
两式相减得，－3Tn＝2＋2(23＋25＋…＋22n－1)－(2n－1)22n＋1，
＝2＋2×－(2n－1)22n＋1
＝－＋22n＋1，
所以Tn＝.
用错位相减法求和的策略和技巧
(1)掌握解题“3步骤”
(2)注意解题“3关键”
①要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形．
②在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式．
③在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比q＝1和q≠1两种情况求解．　
　已知{an}为正项等比数列，a1＋a2＝6，a3＝8.
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)若bn＝，且{bn}的前n项和为Tn，求Tn.
解：(1)依题意，设等比数列{an}的公比为q，则有则3q2－4q－4＝0，而q＞0，
所以q＝2.
于是a1＝2，所以数列{an}的通项公式为an＝2n.
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