人教版高中数学第4节 幂函数与二次函数.doc

第4节　幂函数与二次函数
考试要求　1.了解幂函数的概念；结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝的图象，了解它们的变化情况；2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.
1.幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数.
(2)常见的五种幂函数的图象
(3)幂函数的性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；
③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减.
2.二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).
顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n).
零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点.
(2)二次函数的图象和性质
函数
y＝ax2＋bx＋c
(a>0)
y＝ax2＋bx＋c
(a<0)
图象
(抛物线)
定义域
R
值域
对称轴
x＝－
顶点
坐标
奇偶性
当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数
单调性
在上是减函数；
在上是增函数
在上是增函数；
在上是减函数
1.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关.
2.若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则当时，恒有f(x)>0；当时，恒有f(x)<0.
3.(1)幂函数y＝xα中，α的取值影响幂函数的定义域、图象及性质；
(2)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)函数y＝2x是幂函数.(　　)
(2)当α＞0时，幂函数y＝xα在(0，＋∞)上是增函数.(　　)
(3)当n是偶数时，幂函数y＝x(m，n∈Z，且m是奇数)是偶函数.(　　)
(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈[a，b])的最值一定是.(　　)
答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×
解析　(1)由于幂函数的解析式为f(x)＝xα，故y＝2x不是幂函数，故(1)错误.
(4)对称轴x＝－，当－不在给定定义域内时，最值不是，故(4)错误.
2.(2021·青岛联考)不等式(x2＋1)>(3x＋5)的解集为(　　)
A.∪(4，＋∞)
B.(－1，4)
C.(4，＋∞)
D.(－∞，－1)∪(4，＋∞)
答案　A
解析　不等式(x2＋1)>(3x＋5)等价于x2＋1>3x＋5≥0，
解得－≤x<－1或x>4.
所以原不等式的解集为
∪(4，＋∞).
3.函数y＝x－的大致图象是(　　)
答案　B
解析　由幂函数的性质可知，函数y＝x－的图象在(0，＋∞)上单调递减，故A、C错误；
函数y＝x－为偶函数，故D错误.
4.已知α∈，.若幂函数f(x)＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则α＝______.
答案　－1
解析　由y＝xα为奇函数，知α取－1，1，3.
又y＝xα在(0，＋∞)上递减，
∴α<0，取α＝－1.
5.(易错题)已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)xn2－3n(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n＝________.
答案　1
解析　由题意知n2＋2n－2＝1，解得n＝1或n＝－3，经检验n＝1符合题意.
6.(2022·杭州联考)已知函数f(x)＝x2－2ax＋b(a＞1)的定义域和值域都为[1，a]，则b＝________.
答案　5
解析　f(x)＝x2－2ax＋b的图象关于x＝a对称，
所以f(x)在[1，a]上为减函数，
又f(x)的值域为[1，a]，
所以
∴a＝2，a＝1(舍)，∴b＝5.
　考点一　幂函数的图象和性质
1.已知幂函数y＝x(p，q∈N*，q＞1且p，q互质)的图象如图所示，则(　　)
A.p，q均为奇数，且＞1
B.q为偶数，p为奇数，且＞1
C.q为奇数，p为偶数，且＞1
D.q为奇数，p为偶数，且0＜＜1
答案　D
解析　由幂函数的图象关于y轴对称，可知该函数为偶函数，
所以p为偶数，则q为奇数.
因为幂函数y＝x的图象在第一象限内向上凸起，且在(0，＋∞)上单调递增，
所以0＜＜1.
2.(2021·衡水调研)已知点(m，8)在幂函数f(x)＝(m－1)xn的图象上，设a＝f，b＝f(ln π)，c＝f(2－)，则a，b，c的大小关系是(　　)
A.a<c<b