人教版高中数学第6讲　空间向量及其运算.doc

第6讲　空间向量及其运算
一、选择题
1.(2017·黄冈模拟)已知向量a＝(2m＋1，3，m－1)，b＝(2，m，－m)，且a∥b，则实数m的值等于(　　)
A. B.－2 C.0 D.或－2
解析　∵a∥b，∴＝＝，解得m＝－2.
答案　B
2.(2017·海南模拟)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱AA1和BB1的中点，则sin〈，〉的值为(　　)
A. B. C. D.
解析　如图，设正方体棱长为2，则易得＝(2，－2，1)，＝(2，2，－1)，∴cos〈，〉＝＝－，∴sin〈，〉＝＝.
答案　B
3.空间四边形ABCD的各边和对角线均相等，E是BC的中点，那么(　　)
A.·＜·
B.·＝·
C.·＞·
D.·与·的大小不能比较
解析　取BD的中点F，连接EF，则EF綉CD，因为〈，〉＝〈，〉＞90°，因为·＝0，∴·＜0，所以·＞·.
答案　C
4.已知向量a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是(　　)
A.－1 B. C. D.
解析　由题意得，ka＋b＝(k－1，k，2)，2a－b＝(3，2，－2).所以(ka＋b)·(2a－b)＝3(k－1)＋2k－2×2＝5k－7＝0，解得k＝.
答案　D
5.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则·的值为(　　)
A.a2 B.a2 C.a2 D.a2
解析　如图，设＝a，＝b，＝c，
则|a|＝|b|＝|c|＝a，且a，b，c三向量两两夹角为60°.
＝(a＋b)，＝c，
∴·＝(a＋b)·c
＝(a·c＋b·c)＝(a2cos 60°＋a2cos 60°)＝a2.
答案　C
二、填空题
6.已知2a＋b＝(0，－5，10)，c＝(1，－2，－2)，a·c＝4，|b|＝12，则以b，c为方向向量的两直线的夹角为________.
解析　由题意得，(2a＋b)·c＝0＋10－20＝－10.
即2a·c＋b·c＝－10，又∵a·c＝4，∴b·c＝－18，
∴cos〈b，c〉＝＝＝－，
∴〈b，c〉＝120°，∴两直线的夹角为60°.
答案　60°
7.正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD中点，则EF的长为________.
解析　||2＝(＋＋)2
＝2＋2＋2＋2(·＋·＋·)
＝12＋22＋12＋2(1×2×cos 120°＋0＋2×1×cos 120°)
＝2，
∴||＝，∴EF的长为.
答案　
8.(2017·南昌调研)已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别是OA，BC的中点，点G在线段MN上，且＝2，现用基底{，，}表示向量，有＝x＋y＋z，则x，y，z的值分别为________.
解析　∵＝＋＝＋
＝＋(－)
＝＋
＝＋＋，
∴x＝，y＝，z＝.
答案　，，
三、解答题
9.已知空间中三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，设a＝，b＝.
(1)若|c|＝3，且c∥，求向量c.
(2)求向量a与向量b的夹角的余弦值.
解　(1)∵c∥，＝(－3，0，4)