人教版高中数学第6讲　立体几何中的向量方法.doc

第6讲　立体几何中的向量方法
一、知识梳理
1．两条异面直线所成角的求法
设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则
l1与l2所成的角θ
a与b的夹角β
范围
[0，π]
求法
cos θ＝
cos β＝
2.直线与平面所成角的求法
设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，a与n的夹角为β，则sin θ＝|cos β|＝．
3．求二面角的大小
(1)如图①，AB，CD分别是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈，〉．
(2)如图②③，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cos θ|＝|cos〈n1，n2〉|，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角)．
常用结论
利用空间向量求距离
(1)两点间的距离
设点A(x1，y1，z1)，点B(x2，y2，z2)，则|AB|＝||＝.
(2)点到平面的距离
如图所示，已知AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离为||＝.
二、教材衍化
1．已知两平面的法向量分别为m＝(0，1，0)，n＝(0，1，1)，则两平面所成的二面角的大小为________．
解析：cos〈m，n〉＝＝＝，即〈m，n〉＝45°.所以两平面所成二面角为45°或180°－45°＝135°.
答案：45°或135°
2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是C1D1的中点，则异面直线DE与AC夹角的余弦值为________．
解析：如图建立空间直角坐标系D－xyz，设DA＝1，A(1，0，0)，C(0，1，0)，E，则＝(－1，1，0)，＝，设异面直线DE与AC所成的角为θ，则cos θ＝|cos〈，〉|＝.
答案：
3．正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)ABC－A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为2，则AC1与侧面ABB1A1所成的角为________．
解析：以C为原点建立空间直角坐标系，如图所示，得下列坐标：A(2，0，0)，C1(0，0，2)．点C1在侧面ABB1A1内的射影为点C2.所以＝(－2，0，2)，＝，设直线AC1与平面ABB1A1所成的角为θ，则cos θ＝＝＝.又θ∈
eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以θ＝.
答案：
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两直线的方向向量的夹角就是两条直线所成的角．(　　)
(2)已知a＝(－2，－3，1)，b＝(2，0，4)，c＝(－4，－6，2)，则a∥c，a⊥b.(　　)
(3)已知两平面的法向量分别为m＝(0，1，0)，n＝(0，1，1)，则两平面所成的二面角的大小为45°.(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)×
二、易错纠偏
(1)异面直线所成角的取值范围出错；
(2)二面角的取值范围出错．
1．已知2a＋b＝(0，－5，10)，c＝(1，－2，－2)，a·c＝4，|b|＝12，则以b，c为方向向量的两直线的夹角为________．
解析：由题意得，(2a＋b)·c＝0＋10－20＝－10，
即2a·c＋b·c＝－10.因为a·c＝4，所以b·c＝－18，所以cos〈b，c〉＝＝＝－，所以〈b，c〉＝120°，所以两直线的夹角为60°.
答案：60°
2．已知向量m，n分别是直线l的方向向量、平面α的法向量，若cos〈m，n〉＝－，则l与α所成的角为________．
解析：设l与α所成的角为θ，则sin θ＝|cos〈m，n〉|＝，所以θ＝30°.
答案：30°
考点一　异面直线所成的角(基础型)
能用向量方法解决直线与直线的夹角的计算问题．
核心素养：数学运算
如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB＝2，∠BAD＝60°.
(1)求证：BD⊥平面PAC；
(2)若PA＝AB，求PB与AC所成角的余弦值．
【解】　(1)证明：因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD.
因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD.
又因为AC∩PA＝A，所以BD⊥平面PAC.
(2)设AC∩BD＝O.
因为∠BAD＝60°，PA＝AB＝2，
所以BO＝1，AO＝CO＝.
如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系Oxyz，
则P(0，－，2)，A(0，－，0)，B(1，0，0)，C(0，，0)．
所以＝(1，，－2)，＝(0，2，0)．
设PB与AC所