人教版高中数学第6节 双曲线.doc

第6节　双曲线
考试要求　1.了解双曲线的定义，几何图形和标准方程，以及它们的简单几何性质.2.通过圆锥曲线与方程的学****进一步体会数形结合的思想.
1.双曲线的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.其数学表达式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.
(1)若a<c，则集合P为双曲线；
(2)若a＝c，则集合P为两条射线；
(3)若a>c，则集合P为空集.
2.双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
－＝1(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
图　形
性　质
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
x∈R，y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±x
y＝±x
离心率
e＝，e∈(1，＋∞)
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长度|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长度|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2
1.过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为.
2.离心率e＝＝＝.
3.等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.
4.若渐近线方程为y＝±x，则双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0).
5.双曲线的焦点到渐近线的距离为b.
6.若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝c＋a，|PF2|min＝c－a.
7.焦点三角形的面积：P为双曲线上的点，F1，F2为双曲线的两个焦点，且∠F1PF2＝θ，则△F1PF2的面积为.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.(　　)
(2)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线.(　　)
(3)方程－＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线.(　　)
(4)双曲线－＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是±＝0.(　　)
(5)若双曲线－＝1(a>0，b>0)与－＝1(a>0，b>0)的离心率分别是e1，e2，则＋＝1.(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√
解析　(1)因为||MF1|－|MF2||＝8＝|F1F2|，表示的轨迹为两条射线.
(2)由双曲线的定义知，应为双曲线的一支，而非双曲线的全部.
(3)当m＞0，n＞0时表示焦点在x轴上的双曲线，而m＜0，n＜0时则表示焦点在y轴上的双曲线.
2.(易错题)若方程＋＝1所表示的曲线为C，则下面四个命题中错误的是(　　)
A.若C为椭圆，则1＜t＜3
B.若C为双曲线，则t＞3或t＜1
C.曲线C可能是圆
D.若C为椭圆，且长轴在y轴上，则1＜t＜2
答案　AD
解析　若t＞3，则方程可变形为－＝1，它表示焦点在y轴上的双曲线；
若t＜1，则方程可变形为－＝1，它表示焦点在x轴上的双曲线；
若2＜t＜3，则0＜3－t＜t－1，故方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆；
若1＜t＜2，则0＜t－1＜3－t，故方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆；
若t＝2，则方程＋＝1，即为x2＋y2＝1，它表示圆，综上，选AD.
3.(2021·全国甲卷)已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，则C的离心率为(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　设|PF2|＝m，|PF1|＝3m，则|F1F2|＝＝m，所以C的离心率e＝＝
＝＝＝.
4.(2021·全国乙卷)已知双曲线C：－y2＝1(m>0)的一条渐近线为x＋my＝0，则C的焦距为________.
答案　4
解析　双曲线－y2＝1(m>0)的渐近线为y＝±x，即x±y＝0，
又双曲线的一条渐近线为x＋my＝0，即x＋y＝0，对比两式可得，m＝3.
设双曲线的实半轴长为a，虚半轴长为b，半焦距为c，则有a2＝m＝3，b2＝1，
所以双曲线的焦距2c＝2＝4.
5.(易错题)双曲线－＝1上一点P到焦点F1(－5，0)的距离为7，则点P到焦点F2(5，0)的距离为________.
答案　13
解析　在双曲线－＝1中，a＝3，由题意得|PF1|＝7，
由双曲线的定义可得||PF1|－