人教版高中数学第7讲　抛物线.doc

第7讲　抛物线
一、知识梳理
1．抛物线的定义
满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：
(1)在平面内；
(2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等；
(3)定点不在定直线上．
2．抛物线的标准方程和几何性质
标准方程
y2＝2px(p＞0)
y2＝－2px(p＞0)
x2＝2py(p＞0)
x2＝－2py(p＞0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形
顶点
O(0，0)
对称轴
y＝0
x＝0
焦点
F
F
F
F
离心率
e＝1
准线方程
x＝－
x＝
y＝－
y＝
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
开口方向
向右
向左
向上
向下
焦半径(其中
P(x0，y0))
|PF|＝x0＋
|PF|＝－x0＋
|PF|＝y0＋
|PF|＝－y0＋
常用结论
与焦点弦有关的常用结论
(以图为依据)
设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
(1)y1y2＝－p2，x1x2＝.
(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝(θ为直线AB的倾斜角)．
(3)＋为定值.
(4)以AB为直径的圆与准线相切．
(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切．
(6)过焦点垂直于对称轴的弦长等于2p(通径)．
二、教材衍化
1．若抛物线的焦点是F，则抛物线的标准方程为________．
答案：x2＝－2y
2．抛物线y2＋4x＝0的准线方程________．
答案：x＝1
3．抛物线y2＝12x上与焦点的距离等于6的点的坐标是________．
答案：(3，±6)
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．(　　)
(2)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．(　　)
(3)若一抛物线过点P(－2，3)，则其标准方程可写为y2＝2px(p＞0)．(　　)
(4)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
二、易错纠偏
(1)不注意抛物线方程的标准形式；
(2)忽视p的几何意义．
1．顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P(－4，－2)的抛物线的标准方程是(　　)
A．y2＝－x B．x2＝－8y
C．y2＝－8x或x2＝－y D．y2＝－x或x2＝－8y
解析：选D．设抛物线为y2＝mx，代入点P(－4，－2)，解得m＝－1，则抛物线方程为y2＝－x；设抛物线为x2＝ny，代入点P(－4，－2)，解得n＝－8，则抛物线方程为x2＝－8y.
2．已知抛物线C与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是________．
解析：由已知可知双曲线的焦点为(－，0)，(，0)．
设抛物线方程为y2＝±2px(p＞0)，则＝，所以p＝2，所以抛物线方程为y2＝±4x.
答案：y2＝±4x
考点一　抛物线的定义(基础型)
了解抛物线的定义及几何图形．
核心素养：　直观想象
(1)(2020·安徽五校联盟第二次质检)已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点为F，点P在C上，且|PF|＝，则p＝(　　)
A． B．
C． D．1
(2)设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F为抛物线的焦点，若B(3，2)，则|PB|＋|PF|的最小值为________．
【解析】　(1)抛物线的准线方程为y＝－，因为P 在抛物线上，所以点P到准线的距离d＝＋＝|PF|＝，则p＝，故选B．
(2)如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1，则|P1Q|＝|P1F|.
则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4.
即|PB|＋|PF|的最小值为4.
【答案】　(1)B　(2)4
【迁移探究1】　(变条件)若将本例(2)中的B点坐标改为(3，4)，试求|PB|＋|PF|的最小值．
解：由题意可知点(3，4)在抛物线的外部．
因为|PB|＋|PF|的最小值即为B，F两点间的距离，
所以|PB|＋|PF|≥|BF|＝＝＝2，
即|PB|＋|PF|的最小值为2.
【迁移探究2】　(变设问)若本例(2)条件不变，求P到准线l的距离与P到直线3x＋4y＋7＝0的距离之和的最小值是________．
解析：由抛物线定义可知点P到准线l的距离等于点P到焦点F的距离，由抛物线y2＝4x及直线方程3x＋4y＋7＝0可得直线与抛物线相离，所以点P到准