2022届高考数学一轮复习（人教版）第1章 §1.6　基本不等式.docx

§1.6　基本不等式
考试要求　1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最值问题.3.理解基本不等式在生活实际问题中的应用．
1．基本不等式：≤
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．
(3)其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数．
2．几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．
(2)＋≥2(a，b同号)．
(3)ab≤2 (a，b∈R)．
(4)≥2 (a，b∈R)．
以上不等式等号成立的条件均为a＝b.
3．利用基本不等式求最值
已知x>0，y>0，则
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，和x＋y有最小值2.(简记：积定和最小)
(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，积xy有最大值.(简记：和定积最大)
注意：利用基本不等式求最值应满足三个条件：“一正，二定，三相等”．
微思考
1．若两个正数的和为定值，则这两个正数的积一定有最大值吗？
提示　不一定．若这两个正数能相等，则这两个数的积一定有最大值；若这两个正数不相等，则这两个正数的积无最大值．
2．函数y＝x＋的最小值是2吗？
提示　不是．因为函数y＝x＋的定义域是{x|x≠0}，当x<0时，y<0，所以函数y＝x＋无最小值．
题组一　思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两个不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是相同的．(　×　)
(2)(a＋b)2≥4ab.(　√　)
(3)“x>0且y>0”是“＋≥2”的充要条件．(　×　)
(4)函数y＝sin x＋，x∈的最小值为4.(　×　)
题组二　教材改编
2．已知x>2，则x＋的最小值是(　　)
A．1 B．2 C．2 D．4
答案　D
解析　 ∵x>2，
∴x＋＝x－2＋＋2≥2＋2＝4，
当且仅当x－2＝，即x＝3时，等号成立．
3．已知函数f(x)＝x＋，若方程f(x)＝a有实数根，则实数a的取值范围为(　　)
A．(－∞，－2] B．[2，＋∞)
C．(－∞，－1]∪[1，＋∞) D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
答案　D
解析　f(x)＝x＋，
当x>0时，f(x)＝x＋≥2＝2，
当且仅当x＝，即x＝1时，等号成立．
当x<0时，f(x)＝－≤－2＝－2，
当且仅当－x＝，即x＝－1时，等号成立．
综上，f(x)的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)，
故a的取值范围是(－∞，－2]∪[2，＋∞)．
4．若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________ m2.
答案　25
解析　设矩形的一边为x m，面积为y m2，
则另一边为×(20－2x)＝(10－x)m，其中0<x<10，
∴y＝x(10－x)≤2＝25，
当且仅当x＝10－x，即x＝5时，等号成立，
所以ymax＝25，
即矩形场地的最大面积是25 m2.
题组三　易错自纠
5．函数y＝(x>0)的最大值为________．
答案　
解析　y＝＝≤.
当且仅当x＝，即x＝1时，等号成立．
6．函数y＝(x>1)的最小值为________．
答案　4
解析　∵x>1，∴x－1>0，
∴y＝＝＝x＋1＋
＝(x－1)＋＋2≥4.
当且仅当x－1＝，即x＝2时，等号成立.
题型一 利用基本不等式求最值
命题点1　配凑法
例1 (1)已知0<x<1，则x(3－2x)的最大值为________．
答案　
解析　x(3－2x)＝·2x(3－2x)≤·2＝，
当且仅当2x＝3－2x，
即x＝时取等号．
(2)已知x>，则f(x)＝4x－2＋的最小值为________．
答案　5
解析　∵x>，∴4x－5>0，
∴f(x)＝4x－2＋＝4x－5＋＋3≥2＋3＝5.
当且仅当4x－5＝，即x＝时取等号．
(3)已知函数f(x)＝(x<－1)，则(　　)
A．f(x)有最小值4 B．f(x)有最小值－4
C．f(x)有最大值4 D．f(x)有最大值－4
答案　A
解析　f(x)＝＝
＝－＝－
＝－(x＋1)＋＋2.
因为x<－1，所以x＋1<0，－(x＋1)>0，
所以f(x)≥2＋2＝4，
当且仅当－(x＋1)＝，即x＝－2时，等号成立．
故f(x)有最小值4.
命题点2　常数代换法
例2 若正数m，n满足2m＋n＝1，则＋的最小值为(　　)
A．3＋2 B．3＋
C．2＋2 D．3
答案　A
解