2022届高考数学一轮复习（人教版）第2章 §2.2 第3课时　函数性质的综合问题.docx

第3课时　函数性质的综合问题
题型一 函数的单调性与奇偶性
例1 (1)设f(x)是定义在R上的偶函数，当x>0时，f(x)＝ln x＋ex.若a＝f(－π)，b＝f(log23)，c＝f(2－0.2)，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．b>a>c B．c>b>a
C．a>b>c D．a>c>b
答案　C
解析　当x>0时，f(x)＝ln x＋ex为增函数，
∴f(x)的图象关于y轴对称，且在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，a＝f(－π)＝f(π)，
又π>3>log23>1>2－0.2>0，
∴f(π)>f(log23)>f(2－0.2)，
∴a>b>c.
(2)(2020·新高考全国Ⅰ)若定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是(　　)
A．[－1,1]∪[3，＋∞) B．[－3，－1]∪[0,1]
C．[－1,0]∪[1，＋∞) D．[－1,0]∪[1,3]
答案　D
解析　因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，
则f(0)＝0.
又f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，
画出函数f(x)的大致图象如图(1)所示，
则函数f(x－1)的大致图象如图(2)所示．
当x≤0时，要满足xf(x－1)≥0，则f(x－1)≤0，
得－1≤x≤0.
当x>0时，要满足xf(x－1)≥0，则f(x－1)≥0，
得1≤x≤3.
故满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是[－1,0]∪[1,3]．
[高考改编题]若函数f(x)是定义域为R的奇函数，f(2)＝0，且在(0，＋∞)上单调递增，则满足f(x－1)≥0的x的取值范围是______，满足<0的x的取值范围是______．
答案　[－1,1]∪[3，＋∞)　(－2,0)∪(0,2)
解析　由函数f(x)的性质，作出函数f(x)的大致图象如图所示，
∵f(x－1)≥0，则－2≤x－1≤0或x－1≥2，
解得－1≤x≤1或x≥3.
当<0时，xf(x)<0，即f(x)的图象在二、四象限，
即－2<x<0或0<x<2.
思维升华 解决不等式问题，一定要充分利用已知条件，一是把已知不等式化成f(x1)>f(x2)或f(x1)<f(x2)的形式，再利用单调性解不等式；二是利用函数的性质，画出f(x)的图象，利用图象解不等式．
跟踪训练1 (1)已知函数f(x)满足以下两个条件：①任意x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2，(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0；②对定义域内任意x有f(x)＋f(－x)＝0，则符合条件的函数是(　　)
A．f(x)＝2x B．f(x)＝1－|x|
C．f(x)＝－x3 D．f(x)＝ln(x2＋3)
答案　C
解析　由①知f(x)在(0，＋∞)上单调递减，由②知f(x)为奇函数．
(2)已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足 f(2x－1)<f 的x的取值范围是________．
答案　
解析　依题意有f(x)在[0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0]上单调递减，∴|2x－1|<，
即－<2x－1<，解得<x<.
题型二 函数的奇偶性与周期性
例2 (1)(2021·德州联考)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x2，则f(2 023)等于(　　)
A．2 0192 B．1 C．0 D．－1
答案　D
解析　根据题意，函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，则有f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即函数是周期为4的周期函数，则f(2 023)＝f(－1＋2 024)＝f(－1)，又函数y＝f(x)为奇函数，且x∈[0,1]时，f(x)＝x2，则f(－1)＝－f(1)＝－1，故f(2 023)＝－1.
(2)(多选)(2021·济南模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上单调递增，则(　　)
A．f(2 019)＝f(2 017) B．f(2 019)＝f(2 020)
C．f(2 020)<f(2 019) D．f(2 020)>f(2 018)
答案　AC
解析　因为f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，
所以f(x－8)＝f(x)，
所以f(x)是以8为周期的函数，则f(2 017)＝f(1)，f(2 018)＝f(2)，
而由f(x－4)＝－f(x)得f(2 019)＝f(3)＝－f(－3)＝－f(1－4)＝f(1)，f(2 020)＝f(4)＝－f