2022届高考数学一轮复习（人教版）第2章 §2.4　指数与指数函数.docx

§2.4　指数与指数函数
考试要求　1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质.2.通过实例，了解指数函数的实际意义，能用描点法或借助计算工具画指数函数的图象.3.理解指数函数的单调性，特殊点等性质，并能简单应用．
1．根式
(1)如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根．
(2)式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数．
(3)()n＝a.
当n为奇数时，＝a，
当n为偶数时，＝|a|＝
2．分数指数幂
正数的正分数指数幂，＝(a>0，m，n∈N*，n>1)．
正数的负分数指数幂，＝(a>0，m，n∈N*，n>1)．
0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂没有意义．
3．指数幂的运算性质
aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r，s∈Q)．
4．指数函数及其性质
(1)概念：函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数．
(2)指数函数的图象与性质
a>1
0<a<1
图象
定义域
R
值域
(0，＋∞)
性质
过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1
当x>0时，y>1；
当x<0时，0<y<1
当x<0时，y>1；
当x>0时，0<y<1
在(－∞，＋∞)上是增函数
在(－∞，＋∞)上是减函数
微思考
1．若函数y＝k·ax＋b为指数函数，则a，k，b满足什么条件？
提示　k＝1，b＝0，a>0且a≠1.
2.如图所示是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，则a，b，c，d与1之间的大小关系是什么？
提示　c>d>1>a>b>0.
题组一　思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)＝－4.(　×　)
(2)2a·2b＝2ab.(　×　)
(3)函数y＝3·2x与y＝2x＋1都不是指数函数．(　√　)
(4)若am<an(a>0，且a≠1)，则m<n.(　×　)
题组二　教材改编
2．化简(x<0，y<0)得(　　)
A．2x2y B．2xy
C．4x2y D．－2x2y
答案　D
3．函数f(x)＝ax－1＋2(a>0且a≠1)的图象恒过定点________．
答案　(1,3)
4．已知则a，b，c的大小关系是________．
答案　c<b<a
解析　∵y＝x是R上的减函数，
∴即a>b>1，
又∴c<b<a.
题组三　易错自纠
5．若函数f(x)＝(a2－3)·ax为指数函数，则a＝______.
答案　2
解析　依题意
解得a＝2.
6．函数f(x)＝ax在[－1,1]上的最大值为2，则a＝______.
答案　2或
解析　当a>1时，f(x)＝ax为增函数，
则a1＝2，
∴a＝2满足题意，
当0<a<1时，f(x)＝ax为减函数，
则a－1＝2，∴a＝满足题意，
综上有a＝2或.
题型一 指数幂的运算
1．计算：－0＋＋＝______.
答案　π＋8
解析　原式＝－1＋|3－π|＋
＝4－1＋π－3＋23
＝π＋8.
2．计算：＝________.(a>0，b>0)
答案　
解析　原式＝.
3．若，则 ＝________.
答案　
解析　由，两边平方，得x＋x－1＝7，
再平方得x2＋x－2＝47.
∴x2＋x－2－2＝45.

∴＝.
思维升华 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：
①必须同底数幂相乘，指数才能相加．
②运算的先后顺序．
(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．
(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．
题型二 指数函数的图象及应用
例1 (1)(多选)已知实数a，b满足等式2 021a＝2 022b，下列等式可以成立的是(　　)
A．a＝b＝0 B．a<b<0
C．0<a<b D．0<b<a
答案　ABD
解析　如图，观察易知，a<b<0或0<b<a或a＝b＝0，故选ABD.
(2)若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________．
答案　(0,2)
解析　在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝b的图象，如图所示．
∴当0<b<2时，两函数图象有两个交点，从而函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点．
∴b的取值范围是(0,2)．
思维升华 (1)对