2022届高考数学一轮复习（人教版）第10章 §10.1　分类加法计数原理与分步乘法计数原理.docx

§10.1　分类加法计数原理与分步乘法计数原理
考试要求　1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理.2.会用两个计数原理解决一些简单的实际问题．
基本形式
一般形式
区别
分类加法计数原理
完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法
完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，…，在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法
分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都涉及完成一件事情的不同方法种数．它们的区别在于：分类加法计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中的任何一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成
分步乘法计数原理
完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法
完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法
微思考
1．在解题过程中如何判定是用分类加法计数原理还是分步乘法计数原理？
提示　如果已知的每类办法中的每一种方法都能完成这件事，应该用分类加法计数原理；如果每类办法中的每一种方法只能完成这件事的一部分，就用分步乘法计数原理．
2．两种原理解题策略有哪些？
提示　①明白要完成的事情是什么；
②分清完成该事情是分类完成还是分步完成，“类”间互相独立，“步”间互相联系；
③有无特殊条件的限制；
④检验是否有重复或遗漏．
题组一　思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．(　×　)
(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事．(　√　)
(3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．(　√　)
(4)在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事．(　×　)
题组二　教材改编
2．已知集合M＝{1，－2,3}，N＝{－4,5,6，－7}，从M，N这两个集合中各选一个元素分别作为点的横坐标，纵坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、第二象限内不同的点的个数是(　　)
A．12 B．8 C．6 D．4
答案　C
解析　分两步：第一步先确定横坐标，有3种情况，第二步再确定纵坐标，有2种情况，因此第一、第二象限内不同点的个数是3×2＝6，故选C.
3．已知某公园有4个门，从一个门进，另一个门出，则不同的走法的种数为(　　)
A．16 B．13　C．12 D．10
答案　C
解析　将4个门编号为1,2,3,4，从1号门进入后，有3种出门的方式，共3种走法，从2,3,4号门进入，同样各有3种走法，共有不同走法3×4＝12(种)．
4.书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书．从书架中任取1本书，则不同的取法种数为________．
答案　9
解析　分三类：第一类，从第1层取一本书有4种取法，
第二类，从第2层取一本书有3种取法，
第三类，从第3层取一本书有2种取法．
共有4＋3＋2＝9(种)取法．
题组三　易错自纠
5．从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为(　　)
A．24 B．18 C．12 D．6
答案　B
解析　分两类情况讨论：第1类，奇偶奇，个位有3种选择，十位有2种选择，百位有2种选择，共有3×2×2＝12(个)奇数；第2类，偶奇奇，个位有3种选择，十位有2种选择，百位有1种选择，共有3×2×1＝6(个)奇数．根据分类加法计数原理知，共有12＋6＝18(个)奇数．
6．某人有3个电子邮箱，他要发5封不同的电子邮件，则不同的发送方法有_______种．
答案　243
解析　因为每个邮件选择发的方式有3种不同的情况．
所以要发5个电子邮件，发送的方法有3×3×3×3×3＝35＝243(种).
题型一 分类加法计数原理
1．满足a，b∈{－1,0,1,2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为(　　)
A．14 B．13 C．12 D．10
答案　B
解析　方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的情况应分类讨论．①