2022届高考数学一轮复习（人教版）第10章 §10.6　二项分布与正态分布.docx

§10.6　二项分布与正态分布
考试要求　1.了解条件概率的概念，了解两个事件相互独立的概念.2.理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单问题.3.借助直观直方图认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
1．条件概率及其性质
(1)对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号P(B|A)来表示，其公式为P(B|A)＝(P(A)>0)．
在古典概型中，若用n(A)和n(AB)分别表示事件A和事件AB所包含的基本事件的个数，则P(B|A)＝.
(2)条件概率具有的性质
①0≤P(B|A)≤1.
②如果B和C是两个互斥事件，
则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．
2．相互独立事件
(1)对于事件A，B，若事件A的发生与事件B的发生互不影响，则称事件A，B是相互独立事件．
(2)若A与B相互独立，则P(B|A)＝P(B)．
(3)若A与B相互独立，则A与，与B，与也都相互独立．
(4)P(AB)＝P(A)P(B)⇔A与B相互独立．
3．独立重复试验与二项分布
(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的．
(2)在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，此时称随机变量X服从二项分布，记为X～B(n，p)，并称p为成功概率．
4．两点分布与二项分布的均值、方差
(1)若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．
(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．
5．正态分布
(1)正态曲线：函数φμ，σ(x)＝，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ为参数(σ>0，μ∈R)．我们称函数φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．
(2)正态曲线的特点
①曲线位于x轴上方，与x轴不相交．
②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称．
③曲线在x＝μ处达到峰值.
④曲线与x轴之间的面积为1.
⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图甲所示．
⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示．
(3)正态分布的定义及表示
一般地，如果对于任何实数a，b(a<b)，随机变量X满足P(a<X≤b)＝ʃφμ，σ(x)dx，则称随机变量X服从正态分布，记作X～N(μ，σ2)．
正态总体在三个特殊区间内取值的概率值
①P(μ－σ<X≤μ＋σ)≈0.682 7；
②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)≈0.954 5；
③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)≈0.997 3.
微思考
1．两点分布(0－1分布)和二项分布什么关系？
提示　二项分布中当n＝1时就是两点分布．
2．条件概率中P(B|A)与P(A|B)是一回事吗？
提示　不一样，P(B|A)是在A发生的条件下B发生的概率，P(A|B)是在B发生的条件下A发生的概率．
题组一　思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)对于任意两个事件，公式P(AB)＝P(A)P(B)都成立．(　×　)
(2)P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，P(AB)表示事件A，B同时发生的概率．(　√　)
(3)X表示n次重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数，则X服从二项分布．(　√　)
(4)正态分布是对连续型随机变量而言的．(　√　)
题组二　教材改编
2．种植某种树苗，成活率为0.9，若种植这种树苗5棵，则恰好成活4棵的概率约为(　　)
A．0.33 B．0.66 C．0.5 D．0.45
答案　A
解析　C0.94×0.1≈0.33.
3．一个盒子里有6支好晶体管，4支坏晶体管，任取两次，每次取一支，每次取后不放回，已知第一支是好晶体管，则第二支也是好晶体管的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　记“第i(i＝1,2)支晶体管是好的”为事件Ai(其中i＝1,2)，
依题意知，要求的概率为P(A2|A1)．
由P(A1)＝，P(A1A2)＝＝，
所以P(A2|A1)＝＝＝.
4．已知随机变量X服从正态分布N(3,1)，且P(X>2c－1)＝P(X<c＋3)，则c＝______.
答案　
解析　∵X～N(3,1)，
∴正态曲线关于x＝