2023年高考数学二轮复习（人教版）第1部分 专题突破 专题1　微重点1　函数的新定义问题.docx

微重点1　函数的新定义问题
函数的“新定义”问题，是近几年高考试题或模拟试题中出现的一种函数创新试题，一般是以“新定义型”函数的定义或性质为载体，考查函数的定义、性质、运算等，考查学生的创新能力和运用数学知识综合解决问题的能力．
考点一　特征函数
考向1　高斯函数
例1　(2022·郑州调研)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号．设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，y＝[x]也被称为“高斯函数”，例如：[－3.5]＝－4，[2.1]＝2.已知函数f(x)＝[x＋1]－x，则下列说法中正确的是(　　)
A．f(x)是周期函数
B．f(x)的值域是[0,1]
C．f(x)在(0,1)上单调递增
D．∀x∈R，[f(x)]＝0
答案　A
解析　由题意知[x＋1]＝
所以f(x)＝[x＋1]－x
＝
可画出f(x)的图象，如图所示，
可得函数f(x)是周期为1的函数，且值域为(0,1]，在(0,1)上单调递减，故选项A正确，B，C错误；
对于选项D，当x＝－1时，f(－1)＝1，
则[f(－1)]＝1，故选项D错误．
考向2　狄利克雷函数
例2　德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，他是解析数论的创始人之一，以其名字命名的函数f(x)＝称为狄利克雷函数，则关于函数f(x)，下列说法正确的是(　　)
A．f(x)的定义域为{0,1}
B．f(x)的值域为[0,1]
C．∃x∈R，f(f(x))＝0
D．任意一个非零有理数T，f(x＋T)＝f(x)对任意x∈R恒成立
答案　D
解析　因为f(x)＝
所以函数的定义域为R，值域为{0,1}，
故A，B错误；
因为f(x)＝0或f(x)＝1，且0与1均为有理数，
所以f(f(x))＝f(0)＝1或f(f(x))＝f(1)＝1，故C错误；
对于任意一个非零有理数T，若x为有理数，
则x＋T也为有理数，则f(x＋T)＝f(x)＝1；
若x为无理数，则x＋T也为无理数，则f(x＋T)＝f(x)＝0，
综上可得，任意一个非零有理数T，f(x＋T)＝f(x)对任意x∈R恒成立，故D正确．
考向3　黎曼函数
例3　(2022·新乡模拟)黎曼函数是一个特殊的函数，由德国数学家波恩哈德·黎曼发现并提出，在高等数学中有着广泛的应用．黎曼函数定义在[0,1]上，其解析式如下：R(x)＝
若函数f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意x都有f(2＋x)＋f(2－x)＝0，当x∈[0,1]时，f(x)＝R(x)，则f(2 022)＋f ＝________.
答案　－
解析　∵f(2＋x)＋f(2－x)＝0，
∴f(2＋x)＝－f(2－x)．
又f(x)是奇函数，
∴f(x＋2)＝f(x－2)，
∴f(4＋x)＝f(x)，
∴f(x)的一个周期为4.
∵f(2＋x)＋f(2－x)＝0，
∴令x＝0，可得f(2)＝0，
∴f(2 022)＝f(4×505＋2)＝f(2)＝0.
f ＝－f ＝－f 
＝－f ＝－R＝－，
∴f(2 022)＋f ＝－.
考向4　欧拉函数
例4　(多选)(2022·重庆八中调研)若正整数m，n只有1为公约数，则称m，n互质．对于正整数n，φ(n)是小于或等于n的正整数中与n互质的数的个数，函数φ(n)以其首位研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如：φ(3)＝2，φ(7)＝6，φ(9)＝6，则下列说法正确的是(　　)
A．φ(5)＝φ(10)
B．φ(2n－1)＝1
C．φ(32)＝16
D．φ(2n＋2)>φ(2n)，n∈N*
答案　AC
解析　因为φ(5)＝φ(10)＝4，故A正确；
因为当n＝4时，φ(15)≠1，故B不正确；
因为小于或等于32的正整数中与32互质的实数为1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,27,29,31，共有16个，
所以φ(32)＝16，故C正确；
因为当n＝2时，φ(4)＝φ(6)＝2，故D不正确．
规律方法　以某些特殊函数为背景考查函数的基本概念及应用时，关键是理解函数的实质，与熟悉的函数类比，通过赋特殊值或数形结合解决．
跟踪演练1　(1)(2022·东北师大附中模拟)已知符号函数sgn x＝偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，当x∈[0,1]时，f(x)＝x，则(　　)
A．sgn[f(x)]>0
B．f ＝1
C．sgn[f(2k＋1)]＝1(k∈Z)
D．sgn[f(k)]＝|sgn k|(k∈Z)
答案　C
解析　对于A选项，
sgn[f(0)]＝sgn 0＝0，A错；
对于B选项，
f ＝f ＝f ＝，B错；
对于C选项，