2023年高考数学二轮复习（人教版）第1部分 专题突破 专题1　微重点5　不等式的综合问题.docx

微重点5　不等式的综合问题
不等式是高考的必考内容，作为解题的工具，常与函数、数列、平面向量、解析几何等相结合，涉及最值、范围、函数的性质等等，旨在考查学生的思维能力和数学素养．
考点一　不等式的性质及应用
例1　(多选)(2022·江苏七市调研)若a＞b＞0＞c，则(　　)
A.> B.>
C．ac>bc D．a－c>2
答案　ABD
解析　－＝，
∵a>b>0>c，∴ab>0，b－a<0，c<0，
∴>0，
∴>，故A正确；
－＝＝，
∵a>b>0>c，
∴a－c>0，a>0，b－a<0，c<0，
∴>0，
∴>，故B正确；
设y＝xc，当c<0时，y＝xc在(0，＋∞)上单调递减，
∵a>b，∴ac<bc，故C错误；
∵a＞b＞0＞c，∴－c＞0，
∴a－c>b－c＝b＋(－c)≥2，
当且仅当b＝－c时取等号，
∴a－c>2，故D正确．
规律方法　判断关于不等式命题真假的常用方法
(1)作差法、作商法．
(2)利用不等式的性质推理判断．
(3)利用函数的单调性．
(4)特殊值验证法，特殊值法只能排除错误的命题，不能判断正确的命题．
跟踪演练1　(2022·临川模拟)若实数a，b满足a6<a5b，则下列选项中一定成立的为(　　)
A．a<b B．a3<b3
C．ea－b>1 D．ln <0
答案　D
解析　因为a6<a5b，
所以a6－a5b＝a5(a－b)<0，
显然a≠0，所以a(a－b)<0，
所以或
即0<a<b或b<a<0；
若0<a<b，则a<b，a3<b3，ea－b<e0＝1，
ln <ln 1＝0；
若b<a<0，则a>b，a3>b3，ea－b>e0＝1，
ln <ln 1＝0；
即一定成立的是选项D.
考点二　利用基本不等式求最值
例2　(1)(2022·滁州质检)若实数a，b满足2a＋b＝3，则＋的最小值为(　　)
A．6 B．4 C．3 D．2
答案　A
解析　令2a－1＝m，b－1＝n，则m>0，n>0，
∴m＋n＝2a＋b－2＝1，
∵＋＝＋＝2＋＋
＝2＋(m＋n)
＝4＋＋≥6.
当且仅当m＝n，即a＝，b＝时取等号．
(2)(多选)(2022·新高考全国Ⅱ)若x，y满足x2＋y2－xy＝1，则(　　)
A．x＋y≤1 B．x＋y≥－2
C．x2＋y2≤2 D．x2＋y2≥1
答案　BC
解析　因为ab≤2≤(a，b∈R)，
由x2＋y2－xy＝1可变形为
(x＋y)2－1＝3xy≤32，
解得－2≤x＋y≤2，
当且仅当x＝y＝－1时，x＋y＝－2，
当且仅当x＝y＝1时，x＋y＝2，
所以A错误，B正确；
由x2＋y2－xy＝1可变形为
(x2＋y2)－1＝xy≤，
解得x2＋y2≤2，当且仅当x＝y＝±1时取等号，所以C正确；
因为x2＋y2－xy＝1可变形为
2＋y2＝1，
设x－＝cos θ，y＝sin θ，
所以x＝cos θ＋sin θ，y＝sin θ，
因此x2＋y2＝cos2θ＋sin2θ＋sin θcos θ＝1＋sin 2θ－cos 2θ＋
＝＋sin∈，
所以当x＝，y＝－时满足等式，
但是x2＋y2≥1不成立，所以D错误．
易错提醒　利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的条件
(1)一正二定三相等，三者缺一不可；
(2)若连续两次使用基本不等式求最值，必须使两次等号成立的条件一致，否则最值取不到．
跟踪演练2　(1)(多选)(2022·辽阳模拟)已知a>0，b>0，且2a＋b＝4，则(　　)
A．2a－b>
B．log2a＋log2b≤1
C.＋≥2
D.＋≥
答案　BD
解析　因为0<a<2，
a－b＝a－(4－2a)＝3a－4∈(－4,2)，
所以<2a－b<4，故A错误；
因为4＝2a＋b≥2>0，
即0<≤，即0<ab≤2，
log2a＋log2b＝log2(ab)≤1，故B正确；
因为(＋)2＝2a＋b＋2≤8，
所以＋≤2，故C错误；
＋＝＋
＝＋
≥＋2＝，
当且仅当a＝2b＝时，等号成立，故D正确．
(2)(2022·潍坊模拟)已知正实数a，b满足a2＋2ab＋4b2＝6，则a＋2b的最大值为(　　)
A．2 B．2
C. D．2
答案　B
解析　(a＋2b)2＝a2＋4ab＋4b2
＝6－2ab＋4ab＝6＋2ab，
又∵a2＋2ab＋4b2＝6，
∴6－2ab＝a2＋4b2≥4ab，
∴ab≤1，当且仅当a＝2b即a＝，b＝时等号成立．
∴(a＋2b)2＝6＋2ab≤6＋2＝8，