2023年高考数学二轮复习（人教版）第1部分 专题突破 专题2　第1讲　三角函数的图象与性质.docx

第1讲　三角函数的图象与性质
[考情分析]　1.高考对此部分的命题主要集中于三角函数的定义、图象与性质，主要考查图象的变换、函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性，常与三角恒等变换交汇命题.2.主要以选择题、填空题的形式考查，难度为中等或偏下．
考点一　三角函数的运算
核心提炼
1．同角关系：sin2α＋cos2α＝1，＝tan α.
2．诱导公式：在＋α，k∈Z的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”．
例1　(1)(2022·菏泽检测)已知角α的终边经过点(－1,2)，则cos 2α等于(　　)
A．－ B．－
C．－ D.
答案　B
解析　因为角α的终边经过点(－1,2)，
所以sin α＝＝，
cos α＝＝－，
所以cos 2α＝cos2α－sin2α＝－＝－.
(2)已知sincos＝，且0<α<，则sin α＝________，cos α＝______.
答案　　
解析　sincos
＝－cos α·(－sin α)＝sin αcos α＝.
∵0<α<，∴0<sin α<cos α.
又∵sin2α＋cos2α＝1，∴sin α＝，cos α＝.
二级结论　(1)若α∈，则sin α<α<tan α.
(2)由(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α知，
sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α知一可求二．
跟踪演练1　(1)(2022·山西联考)若sin 10°＝asin 100°，则sin 20°等于(　　)
A. B．－
C. D．－
答案　C
解析　由题可知a>0，
sin 10°＝asin 100°＝asin(90°＋10°)＝acos 10°，
又因为sin210°＋cos210°＝1，
解得sin 10°＝，cos 10°＝，
所以sin 20°＝2sin 10°cos 10°
＝2··＝.
(2)已知2cos＝cos(α－π)，则sin 2α＋cos 2α＝________.
答案　－
解析　∵2cos＝cos(α－π)，
∴2sin α＝－cos α，
∴tan α＝－，
∴sin 2α＋cos 2α＝
＝＝－.
考点二　三角函数的图象与解析式
核心提炼
由函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)图象的步骤
例2　(1)(2021·全国乙卷)把函数y＝f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象，则f(x)等于(　　)
A．sin B．sin
C．sin D．sin
答案　B
解析　依题意，将y＝sin的图象向左平移个单位长度，再将所得曲线上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，得到f(x)的图象，
所以y＝siny＝sin的图象
y＝sin的图象．
(2)(多选)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0)的部分图象如图所示，则f(x)等于(　　)
A．2sin
B．2sin
C．2cos
D．2cos
答案　BC
解析　根据图象，可得A＝2，设f(x)的最小正周期为T，
则T＝－＝，
解得T＝π，所以ω＝＝2.
将最低点的坐标代入
f(x)＝2sin(2x＋φ)中，
得2sin＝－2，
则＋φ＝2kπ－(k∈Z)，
解得φ＝2kπ－(k∈Z)，
所以f(x)＝2sin(k∈Z)．
令k＝0，则f(x)＝2sin
＝2sin＝－2cos
＝2cos.
规律方法　由三角函数的图象求解析式y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)中参数的值
(1)最值定A，B：根据给定的函数图象确定最值，设最大值为M，最小值为m，则M＝A＋B，m＝－
A＋B，解得B＝，A＝.
(2)T定ω：由周期的求解公式T＝，可得ω＝.
(3)特殊点定φ：代入特殊点求φ，一般代最高点或最低点，代入中心点时应注意是上升趋势还是下降趋势．
跟踪演练2　(1)(2022·安康模拟)已知函数f(x)＝Atan(A>0，ω>0)的图象向左平移个单位长度后与原图象重合，则实数ω的最小值是(　　)
A. B. C. D．8
答案　A
解析　由题可知，是该函数周期的整数倍，
即＝×k，k∈Z，解得ω＝，k∈Z，
又ω>0，故其最小值为.
(2)(2022·黄山模拟)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，－π<φ<0)的部分图象如图所示，为了得到y＝f(x)的图象，需将函数g(x)＝Acos ωx的图象至少向右平移(　　)
A.个单位长度 B.个单位长度
C.个单位