2023年高考数学二轮复习（人教版）第1部分 专题突破 专题3　第2讲　数列求和及其综合应用.docx

第2讲　数列求和及其综合应用
[考情分析]　1.数列求和重点考查分组转化、错位相减、裂项相消三种求和方法.2.数列的综合问题，一般以等差数列、等比数列为背景，与函数、不等式相结合，考查最值、范围以及证明不等式等.3.主要以选择题、填空题及解答题的形式出现，难度中等．
考点一　数列求和
核心提炼
1．裂项相消法就是把数列的每一项分解，使得相加后项与项之间能够相互抵消，但在抵消的过程中，有的是相邻项抵消，有的是间隔项抵消．常见的裂项方式有：＝；
＝.
2．错位相减法求和，主要用于求{anbn}的前n项和，其中{an}，{bn}分别为等差数列和等比数列．
考向1　分组转化法
例1　(2022·德州联考)已知数列是公比为4的等比数列，且满足a2，a4，a7成等比数列，Sn为数列{bn}的前n项和，且bn是1和Sn的等差中项，若cn＝求数列{cn}的前2n－1项和．
解　因为数列是公比为4的等比数列，
所以＝4，
所以an＋1－an＝2，
所以数列{an}是公差为2的等差数列，
因为a2，a4，a7成等比数列，
所以a＝a2a7，
所以(a1＋6)2＝(a1＋2)(a1＋12)，
解得a1＝6，
所以an＝6＋2(n－1)＝2n＋4，
因为Sn为数列{bn}的前n项和，且bn是1和Sn的等差中项，所以Sn＋1＝2bn，
当n≥2时，有Sn－1＋1＝2bn－1，
两式相减得bn＝2bn－2bn－1，
即bn＝2bn－1，
当n＝1时，有S1＋1＝b1＋1＝2b1，
所以b1＝1，
所以数列{bn}是首项为1，公比为2的等比数列，
所以bn＝2n－1，
因为cn＝k∈N*.
所以数列{cn}的前2n－1项和为
a1＋b2＋a3＋b4＋…＋a2n－1
＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋(b2＋b4＋…＋b2n－2)
＝6n＋×4＋
＝2n2＋4n＋(4n－1－1)．
考向2　裂项相消法
例2　(2022·宜宾模拟)在①Sn＝(an－1)(n＋2)；②S－(n2＋2n－1)Sn－(n2＋2n)＝0，an>0这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答．
问题：已知数列{an}的前n项和为Sn，满足________．记数列的前n项和为Tn.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求Tn.
解　(1)选择①.
由Sn＝(an－1)(n＋2)得，
当n＝1时，a1＝S1＝(a1－1)(1＋2)，
解得a1＝3，
当n≥2时，Sn－1＝(an－1－1)(n＋1)，
则an＝Sn－Sn－1＝(an－1)(n＋2)
－(an－1－1)(n＋1)，
即nan＝(n＋1)an－1＋1，两边各项同除以n(n＋1)得－＝＝－(n≥2)，
当n≥2时，
＝＋＋＋…＋＋
＝＋＋＋…＋＋
＝＋－
＝2－＝，
所以an＝2n＋1，
经检验当n＝1时，a1＝2×1＋1＝3也成立，
故an＝2n＋1.
选择②.
由S－(n2＋2n－1)Sn－(n2＋2n)＝0得，
[Sn－(n2＋2n)](Sn＋1)＝0，
∴Sn＝n2＋2n或Sn＝－1，
∵an>0，
∴Sn＝－1舍去．
∴Sn＝n2＋2n.
当n＝1时，a1＝S1＝12＋2×1＝3，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝n2＋2n－(n－1)2－2(n－1)＝2n＋1，
当n＝1时，符合上式，∴an＝2n＋1.
(2)由(1)知Sn＝n2＋2n，
∴＝＝，
∴Tn＝＋＋…＋
＝
＝
＝－－，
∴Tn＝－－.
考向3　错位相减法
例3　(2022·菏泽检测)已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，an＋1＝2Sn＋1.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)在an与an＋1之间插入n个数，使得包括an与an＋1在内的这n＋2个数成等差数列，设其公差为dn，求的前n项和Tn.
解　(1)因为an＋1＝2Sn＋1，
所以an＝2Sn－1＋1(n≥2)，
两式相减可得an＋1－an＝2an，
所以an＋1＝3an(n≥2)，
令n＝1，可得a2＝2S1＋1＝2a1＋1＝3，
所以＝3，所以数列{an}是首项为1，公比为3的等比数列，所以an＝3n－1.
(2)由题意，可得dn＝＝，
所以＝，
所以Tn＝＋＋＋…＋，
Tn＝＋＋…＋＋，
两式相减可得
Tn＝1＋－
＝1＋×－＝－，
所以Tn＝－.
规律方法　(1)分组转化法求和的关键是将数列通项转化为若干个可求和的数列通项的和或差．
(2)裂项相消法的基本思路是将通项拆分，可以产生相互抵消的项．
(3)用错位相减法求和时，应注意：①等比数列的公比为负数的情形；②在写出“Sn”和