2023年高考数学二轮复习（人教版）第1部分 专题突破 专题4　第3讲　空间向量与空间角.docx

第3讲　空间向量与空间角
[考情分析]　以空间几何体为载体考查空间角是高考命题的重点．空间向量是将空间几何问题坐标化的工具，利用空间向量求平面与平面的夹角或线面角是高考热点，通常以解答题的形式出现，难度中等．
考点一　异面直线所成的角
核心提炼
设异面直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，异面直线l与m的夹角为θ.
则(1)θ∈；
(2)cos θ＝|cos〈a，b〉|＝
＝.
例1　(1)(2021·全国乙卷)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　方法一　如图，连接C1P，因为ABCD－A1B1C1D1是正方体，且P为B1D1的中点，所以C1P⊥B1D1，
又C1P⊥BB1，
B1D1∩BB1＝B1，
所以C1P⊥平面B1BP.
又BP⊂平面B1BP，所以C1P⊥BP.
连接BC1，则AD1∥BC1，
所以∠PBC1为直线PB与AD1所成的角．
设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，
则在Rt△C1PB中，C1P＝B1D1＝，
BC1＝2，sin∠PBC1＝＝，
所以∠PBC1＝.
方法二　以B1为坐标原点，B1C1，B1A1，B1B所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略)，设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则B(0,0,2)，P(1,1,0)，D1(2,2,0)，A(0,2,2)，＝(－1，－1,2)，＝(2,0，－2)．设直线PB与AD1所成的角为θ，则cos θ＝＝＝.因为θ∈，
所以θ＝.
方法三　如图所示，连接BC1，A1B，A1P，PC1，则易知AD1∥BC1，所以直线PB与AD1所成的角等于直线PB与BC1所成的角．根据P为正方形A1B1C1D1的对角线B1D1的中点，易知A1，P，C1三点共线，且P为A1C1的中点．易知A1B＝BC1＝A1C1，所以△A1BC1为等边三角形，所以∠A1BC1＝，又P为A1C1的中点，所以可得∠PBC1＝∠A1BC1＝.
(2)(2022·河南名校联盟联考)在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上、下底面平行，且均为扇环形(扇环是指圆环被扇形截得的部分)．现有一个如图所示的曲池，它的高为2，AA1，BB1，CC1，DD1均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2，对应的圆心角为90°，则图中异面直线AB1与CD1所成角的余弦值为(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　设上底面圆心为O1，下底面圆心为O，连接OO1，OC，OB，O1C1，O1B1，
以O为原点，分别以OC，OB，OO1所在直线为x轴、y轴、
z轴建立空间直角坐标系，
则C(1,0,0)，A(0,2,0)，
B1(0,1,2)，D1(2,0,2)，
则＝(1,0,2)，
＝(0，－1,2)，
cos〈，〉＝＝＝，
又异面直线所成角的范围为，
所以异面直线AB1与CD1所成角的余弦值为.
规律方法　平移线段法求异面直线所成角的步骤
(1)平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角．
(2)认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角或其补角．
(3)计算：求该角的值(常利用解三角形)．
(4)取舍：由异面直线所成的角的范围确定两条异面直线所成的角．
跟踪演练1　(1)(2022·南宁模拟)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为平面AA1B1B的中心，O1为平面A1B1C1D1的中心．若E为CD中点，则异面直线AE与OO1所成角的余弦值为(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　设正方体的棱长为2，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则
A(2,0,0)，E(0,1,0)，
O(2,1,1)，O1(1,1,2)，
＝(－2,1,0)，
＝(－1,0,1)，
设异面直线AE与OO1所成角为θ，
则cos θ＝＝＝.
则异面直线AE与OO1所成角的余弦值为.
(2)(2022·广东联考)如图，在三棱锥P－ABC中，PA＝PB＝CA＝CB＝5，AB＝PC＝2，点D，E分别为AB，PC的中点，则异面直线PD，BE所成角的余弦值为(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　如图，连接CD，取CD的中点F，连接EF，BF，则EF∥PD，∠BEF为异面直线PD，BE所成的角．
由题意可知PD＝CD＝BE＝2，EF＝，BF＝＝，