2024年高考数学一轮复习（人教版） 第3章　必刷大题6　导数的综合问题.docx

必刷大题6　导数的综合问题
1．(2023·温州模拟)已知函数f(x)＝x2－(a＋1)ln x.
(1)当a＝0时，求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)≥(a2－a)ln x对∀x∈(1，＋∞)恒成立，求a的取值范围．
解　(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，
当a＝0时，f′(x)＝2x－＝.
当x∈时，f′(x)<0，
则f(x)的单调递减区间为，
当x∈时，f′(x)>0，
则f(x)的单调递增区间为.
(2)由f(x)≥(a2－a)ln x对∀x∈(1，＋∞)恒成立，
得a2＋1≤对∀x∈(1，＋∞)恒成立．
设h(x)＝(x>1)，则h′(x)＝.
当x∈(1，)时，h′(x)<0；
当x∈(，＋∞)时，h′(x)>0.
所以h(x)min＝h()＝2e，
则a2＋1≤2e，解得－≤a≤，
故a的取值范围是[－，]．
2．设f(x)＝2xln x＋1.
(1)求f(x)的最小值；
(2)证明：f(x)≤x2－x＋＋2ln x.
(1)解　f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2(ln x＋1)，
当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减；
当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
所以当x＝时，f(x)取得最小值f ＝1－.
(2)证明　令F(x)＝x2－x＋＋2ln x－f(x)
＝x(x－1)－－2(x－1)ln x
＝(x－1)，
令g(x)＝x－－2ln x，
则g′(x)＝1＋－＝≥0，
所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，
又g(1)＝0，所以当0<x<1时，g(x)<0，F(x)>0
当x>1时，g(x)>0，F(x)>0，当x＝1时，F(x)＝0，
所以(x－1)≥0，
即f(x)≤x2－x＋＋2ln x.
3．(2023·邢台质检)2022年2月4日，第二十四届冬季奥林匹克运动会开幕式在北京国家体育场举行，拉开了冬奥会的帷幕．冬奥会发布的吉祥物“冰墩墩”、“雪容融”得到了大家的广泛喜爱，达到一墩难求的地步．当地某旅游用品商店获批经销此次奥运会纪念品，其中某个挂件纪念品每件的成本为5元，并且每件纪念品需向税务部门上交a元(10≤a≤13)的税收，预计当每件产品的售价定为x元(13≤x≤17)时，一年的销售量为(18－x)2万件．
(1)求该商店一年的利润f(x)(万元)与每件纪念品的售价x的函数关系式；
(2)求出f(x)的最大值Q(a)．
解　(1)由题意，预计当每件产品的售价为x元(13≤x≤17)时，一年的销售量为(18－x)2 万件，而每件产品的成本为5元，且每件产品需向税务部门上交a元(10≤a≤13)，
∴商店一年的利润f(x)(万元)与售价x的函数关系式为f(x)＝(x－5－a)(18－x)2，x∈[13,17]．
(2)∵f(x)＝(x－5－a)(18－x)2，x∈[13,17]，
∴f′(x)＝(28＋2a－3x)(18－x)，
令f′(x)＝0，解得x＝或x＝18，而10≤a≤13，则16≤≤18，
①若16≤<17，即10≤a<11.5，
当x∈时，f′(x)≥0，f(x)单调递增，
当x∈时，f′(x)≤0，f(x)单调递减，
∴f(x)max＝f ＝(13－a)3；
②若17≤