人教版高中数学2.2 基本不等式（精讲）（提升版）（解析版）.docx

2.2 基本不等式（精讲）（提升版）
思维导图
考点呈现
例题剖析
考点一 基本不等式常考形式
【例1-1】（2022·河北石家庄·高三阶段练****多选）已知，，且，则（       ）
A．的最小值是1 B．的最小值是
C．的最小值是4 D．的最小值是5
【答案】BC
【解析】由已知，得，则，当且仅当时取等号，所以的最大值是，所以选项A错误；
，当且仅当，时取等号，所以的最小值是，所以选项B正确；
，当且仅当时取等号，所以的最小值是4，所以选项C正确；
，当且仅当时取等号，所以的最小值是，所以选项D错误．故选：BC．
【例1-2】（2022·全国·模拟预测）已知a，b为非负数，且满足，则的最大值为（       ）
A．40 B． C．42 D．
【答案】D
【解析】
，
又，当且仅当时取“=”，则，
所以当时，的最大值为.故选：D
【例1-3】（2022·全国·高三专题练****已知正实数满足，则的最小值为（       ）
A．9 B． C．10 D．无最小值
【答案】A
【解析】由，得，即，
所以：，
当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为，故选：A
【例1-4】（2022·全国·高三专题练****已知实数，满足，若不等式对任意的正实数恒成立，那么实数m的最大值为（       ）
A． B． C．3 D．
【答案】D
【解析】设，则，
当时，，所以函数在上为增函数，
∵   ∴     ，即，又，
∴ ，∴
当且仅当时等号成立，∵不等式对任意的正实数恒成立，∴ ，故选：D.
【一隅三反】
1．（2022·海南）（多选）已知，是正实数，则下列选项正确的是（       ）
A．若，则有最小值2 B．若，则有最大值5
C．若，则有最大值 D．有最小值
【答案】AC
【解析】对于A，，，，
，当且仅当，即时取等号，则有最小值2，故A正确；
对于B，，，，，
当且仅当，即时取等号，则有最大值4，故B错误；
对于C，，，，
，
当且仅当，即时取等号，则则有最大值，故C正确；
对于D，当时，，故D错误；故选：AC
2．（2022·全国·高三专题练****理））若a，b，c均为正实数，则的最大值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为a，b均为正实数，
则
，
当且仅当，且，即时取等号，则的最大值为．故选：A．
3．（2022·全国·高三专题练****已知三次函数在上单调递增，则最小值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】在上单调递增，恒成立，
，，，，，
令，设，
则，
，，（当且仅当，即时取等号），
，即的最小值为.故选：.
4．（2022·全国·高三专题练****若两个正实数，满足且存在这样的，使不等式有解，则实数的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由知，，
当且仅当时，等号成立，则使不等式有解，只需满足即可，
解得故选：C
5．（2022·全国·高三专题练****若实数满足，则的最大值为________.
【答案】
【解析】由，得，
设，其中.
则，从而，
记，则，
不妨设，则,
当且仅当，即时取等号，即最大值为.故答案为：.
考点二 基本不等式与其他知识综合
【例2-1】（2022·河南许昌）若直线被圆截得的弦长为，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】圆的标准方程为，圆心为，半径为，若直线被截得弦长为，说明圆心在直线：上，即，即，∴，
当且仅当，即时，等号成立．故选：D.
【例2-2】．（2022·全国·高三专题练****设，则函数的最大值为___________．
【答案】
【解析】因为，，
函数，当且仅当等号成立．故最大值为．
【例2-3】（2022·山东·广饶一中）直角三角形中，是斜边上一点，且满足，点、在过点的直线上，若，，，则下列结论错误的是（       ）
A．为常数 B．的最小值为
C．的最小值为 D．、的值可以为，
【答案】B
【解析】如下图所示：
由，可得，，
若，，，则，，，
、、三点共线，，，故A正确；
所以，时，也满足，则D选项正确；
，当且仅当时，等号成立，C成立；
，当且仅当时，即，时等号成立，故B选项错误.故选：B
【一隅三反】
1．（2022·江西·临川一中）已知是正实数