人教版高中数学3.1 三角函数的定义（精练）（基础版）（解析版）.docx

3.1 三角函数的定义（精练）（基础版）
题组一 扇形的弧长与面积
1．（2022·全国·高三专题练****将手表的分针拨快分钟，则分针在旋转过程中形成的角的弧度数是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】将手表的分针拨快分钟，则分针在旋转过程中形成的角的弧度数是.故选：D.
2．（2021·安徽黄山市）若一扇形的圆心角为144°，半径为cm，则扇形的面积为______cm2．
【答案】．
【解析】扇形的圆心角为144°，半径为，所以扇形的面积为．
故答案为：．
3．（2022·全国·高三专题练****中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴.按如下方法剪裁，扇面形状较为美观.从半径为的圆面中剪下扇形，使剪下扇形后所剩扇形的弧长与圆周长的比值为，再从扇形中剪下扇环形制作扇面，使扇环形的面积与扇形的面积比值为.则一个按上述方法制作的扇环形装饰品（如图）的面积与圆面积的比值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】记扇形的圆心角为，扇形的面积为，扇环形的面积为，圆的面积为，
由题意可得，，，，
所以，
因为剪下扇形后所剩扇形的弧长与圆周长的比值为，
所以，则，
所以.
故选：D.
4．（2022·广东·一模）为解决皮尺长度不够的问题，实验小组利用自行车来测量A，B两点之间的直线距离.如下图，先将自行车前轮置于点A，前轮上与点A接触的地方标记为点C，然后推着自行车沿AB直线前进（车身始终保持与地面垂直），直到前轮与点B接触.经观测，在前进过程中，前轮上的标记点C与地面接触了10次，当前轮与点B接触时，标记点C在前轮的左上方（以下图为观察视角），且到地面的垂直高度为0.45m.已知前轮的半径为0.3m，则A，B两点之间的距离约为（       ）（参考数值：）
A．20.10m B．19.94m C．19.63m D．19.47m
【答案】D
【解析】由题意，前轮转动了圈，
所以A，B两点之间的距离约为，故选：D.
5．（2022·浙江绍兴·模拟预测）我国古代数学著作《九章算术》方田篇记载“宛田面积术曰：以径乘周，四而一”（注：宛田，扇形形状的田地：径，扇形所在圆的直径；周，扇形的弧长），即古人计算扇形面积的公式为：扇形面．现有一宛田的面积为，周为，则径是__________．
【答案】
【解析】根据题意，因为扇形面，且宛田的面积为，周为，所以，解得径是：.
故答案为：.
6．（2022·安徽·高三阶段练****文））折扇最早出现于公元五世纪的中国南北朝时代，《南齐书》上说：“褚渊以腰扇障日．”，据《通鉴注》上的解释，“腰扇”即折扇．一般情况下，折扇可以看作从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的弧长为l，扇形所在的圆的半径为r，当l与r的比值约为2.4时，折扇看上去的形状比较美观.若一把折扇所在扇形的半径为30cm，在保证美观的前提下，此折扇所在扇形的面积是_______．
【答案】1080
【解析】依题意，，所以，所以；
故答案为：
7．（2022·浙江绍兴·高三期末）“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号.如图是折扇的示意图，已知为的中点，，则此扇面（扇环）部分的面积是__________.
【答案】
【解析】由题意得此扇面（扇环）部分的面积是，
故答案为：
8．（2022·江苏·高三专题练****九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就.其中《方田》一章中记载了计算弧田（弧田就是由圆弧和其所对弦所围成弓形）的面积所用的经验公式：弧田面积=（弦×矢＋矢×矢），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为，弦长为的弧田.其实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为_____________平方米.（其中，）
【答案】16
【解析】因为圆心角为，弦长为，所以圆心到弦的距离为20m，半径为40m，
因此根据经验公式计算出弧田的面积为平方米，
实际面积等于扇形面积减去三角形面积，为平方米，
因此两者之差为平方米.故答案为：16.
9．（2022·全国·高三专题练****若一个扇形的周长是4为定值，则当该扇形面积最大时，其圆心角的弧度数是__.
【答案】2
【解析】解：设扇形的圆心角弧度数为，半径为，则，，
当且仅当，解得时，扇形面积最大.
此时.故答案为：2.