人教版高中数学3.4 对数运算及对数函数（精讲）（提升版）（解析版）.docx

3.4 对数运算及对数函数（精讲）（提升版）
思维导图
考点呈现
例题剖析
考点一 对数运算
【例1】（2022·全国·高三专题练****化简求值
（1）；
（2）；.
（3）；．
（4）.
【答案】（1）1；（2）1；（3）4；（4）2.
【解析】（1）；
（2）；
（3）
；
（4）
【一隅三反】
（2022·全国·高三专题练****化简求值：
（1）．
（2）；
（3）.
（4）
（5）．
【答案】（1）5；（2）3；（3）0；（4）3；（5）.
【解析】（1）

；
（2）
；
（3）
；
（4）
；
（5）
．
考点二 对数函数的单调性
【例2-1】（2022·全国·高三专题练****若函数在区间内单调递增，则实数的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，函数定义域满足：，解得，
在上单调递减，
根据复合函数单调性知，在单调递减，函数对称轴为，
故，解得.故选：C.
【例2-2】（2022·天津·南开中学二模）已知函数是R上的单调函数，则实数a的取值范围为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】当函数是R上的单调递减函数，所以，解得，
因为且，所以当时，不可能是增函数，所以函数在R上不可能是增函数，
综上：实数a的取值范围为，故选：B
【一隅三反】
1．（2022·全国·高三专题练****函数的单调递增区间为____________．
【答案】
【解析】由得，所以函数的定义域为.
令，则，，开口向上，对称轴为，
所以在上递增，在定义域内单调递增，
所以)在上单调递增，所以函数的单调递增区间是.
故答案为：.
2．（2022·全国·高三专题练****已知函数f(x)＝lg(x2－2x－3)在(－∞，a)单调递减，则a的取值范围是（       ）
A．(－∞，－1] B．(－∞，2] C．[5，＋∞) D．[3，＋∞)
【答案】A
【解析】是增函数，在上递减，在递增，
因此在上递减，则有，解得．故选：A．
3．（2021·天津市武清区大良中学高三阶段练****若函数在R上单调递增，则实数a的取值范围是_______
【答案】
【解析】由，在R上单调递增，
∴在上递增，在上也递增，
由增函数图象特征知：不能在点上方，综上， ，解得，
∴实数a的取值范围是.故答案为：.
4．（2022·河北）已知函数在区间上是增函数，求实数的取值范围_____．
【答案】
【解析】令，因为外层函数为减函数，则内层函数在区间上是减函数，所以，，解得.故答案为：.
考点三 对数函数的值域（最值）
【例3-1】（2022·全国·高三专题练****函数的最小值为（       ）
A． B． C． D．0
【答案】A
【解析】由题意知的定义域为.
所以，，
，时等号成立．故选：A.
【例3-2】（2022·四川·宜宾市教科所三模）若函数的值域为，则的取值范围是(       )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】当时，f(x)=，
当时，f(x)=，
故要使的值域是，则0≤≤1，解得．故选：C．
【例3-3】（2022·重庆·模拟预测）若函数有最小值，则实数a的取值范围是（
       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】依题意且，所以，解得或，综上可得，
令的根为、且，，，
若，则在定义域上单调递增，在上单调递增，在上单调递减，
根据复合函数的单调性可知，在上单调递增，在上单调递减，函数不存在最小值，故舍去；
若，则在定义域上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
根据复合函数的单调性可知，在上单调递减，在上单调递增，所以函数在取得最小值，所以；故选：A
【一隅三反】
1．（2022·全国·高三专题练****已知，，则的值域为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，，所以的定义域为，
解得，所以该函数的定义域为；所以，
所以
，所以，
当时，，当时，，所以；所以函数的值域是．故选：B．
2．（2022·全国·高三专题练****若函数且的值域为，则的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】当时，，，
当时，，
∵函数的值域为，∴，又，
∴，即，∴的取值范围为.故选：D．
3．（2022·全国