人教版高中数学4.5 导数的综合运用（精讲）（提升版）（解析版）.docx

4.5 导数的综合运用（精讲）（提升版）
思维导图
考点呈现
例题剖析
考点一 零点的个数
【例1】（2022·广东·深圳市光明区高级中学模拟预测）已知函数.
(1)当时，求函数的极值点；
(2)当时，试讨论函数的零点个数.
【答案】(1)(2)有个零点
【解析】(1)当时，，则，
令 ，则.
当时，，，
在上单调递增， ，在上单调递增.
当时，可得，，在单调递减；
综上，函数的极值点为.
(2)当时，，是的一个零点，
令，可得.因为，
①当时，，，在单调递增，，
在单调递增，，此时在无零点.
②当时，，有， 此时在无零点.
③当时，，，在单调递增，又，，
由零点存在性定理知，存在唯一，使得.
当时，，在单调递减；
当时，，在单调递增；
又，，所以在上有个零点.
综上，当时，有个零点.
【一隅三反】
1．（2022·江苏·南京市天印高级中学模拟预测）已知函数．
(1)求函数的图象在处的切线方程；
(2)判断函数的零点个数，并说明理由.
【答案】(1)(2)在区间上有且仅有一个零点，理由见解析
【解析】(1)，
所以函数的图象在处的切线方程为，即.
(2)设，则，
①当时，，所以单调递减；
且，，
由零点存在定理可知，在区间存在唯一的，使
又当时，；当时，，
所以在上单调递增，
且， ，
所以在上有唯一零点；
当时，单调递减，且，
所以在上没有零点.   
②当时，
单调递增，， ，
所以在区间有唯一零点，设为，
当时，，此时单调递减；
当时，，此时单调递增；
在区间上，此时单调递减，
且，故有，此时单调递减，且，
由，得，
所以.
当时， ，所以单调递增，
又，故，
，，
所以存在，使，即，故为的极小值点.
此时.
所以在上没有零点.
③当时，，
所以，所以在区间上没有零点.
综上在区间上有且仅有一个零点.
2．（2022·北京四中三模）已知函数.
(1)当时，求的单调区间；
(2)当时，讨论的零点个数.
【答案】(1)单调增区间为，单调减区间为(2)答案见解析
【解析】(1)当时，函数，
可得.
当在区间上变化时，，f（x）的变化如下表：
x
0
0
+
0
-
f（x）
极小值1
极大值
-1
所以的单调增区间为；的单调减区间为.
(2)由题意，函数，
可得
当时，在上恒成立，
所以时，，所以在上单调递增.
又因为，所以f（x）在上有0个零点.
当时，令，可得.
由可知存在唯一的使得，
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
因为，，，
①当，即时，在上有0个零点.
②当，即时，在上有1个零点.
综上可得，当时，有2个零点；当时，有0个零点.
3．（2022·云南师大附中高三阶段练****文））已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)当时，设，求证：在上只有1个零点
【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增(2)证明见解析
【解析】(1)函数的定义域为，．
令，解得，
则有当时，；当时，；
所以在上单调递减，在上单调递增．
(2)证明：由于，．
设，，
则在上的零点也是的零点，且有．
①当时，由于，
所以在上单调递增；
又，
所以；
由于，且，
所以存在唯一的，使得，即在上有1个零点．
②当时，设，所以，
则当时，，
所以在上单调递减．
又，所以当时，，
即；
所以当时，．
设，，所以，
则在上单调递减，
所以当时，，则，所以在上无零点．
③当时，由于，，
所以,所以在上无零点．
综合①②③，可知，在上只有1个零点．
考点二 已知零点个数求参
【例2】（2022·全国·高考真题）已知函数．
(1)当时，求的最大值；
(2)若恰有一个零点，求a的取值范围．
【答案】(1)(2)
【解析】(1)当时，，则，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以；
(2)，则，
当时，，所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以，此时函数无零点，不合题意；
当时，，在上，，单调递增；
在上，，单调递减；
又，
由（1）得，即，所以，
当时，，
则存在，使得，
所以仅在有唯一零点，符合题意；
当时，，所以单调递增，又，
所以有唯一零点，符合题意；
当时，，在上，，单调递增；
在上，，单调递减；此时，