人教版高中数学6.4 求和方法（精讲）（提升版）（解析版）.docx

6.4 求和方法（精讲）（提升版）
思维导图
考点呈现
例题剖析
考点一 公式法求和
【例1】（2022·江苏江苏·高三期末）已知数列满足.
(1)设，求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前20项和.
【答案】(1)(2)
【解析】(1)由可知，，即，
由可知，，
所以是以12为首项，4为公比的等比数列，
所以的通项公式为.
(2)由（1）知，，
所以,
又符合上式,所以,所以，
所以的前20项和.
【一隅三反】
1．（2022·全国·模拟预测）设数列的前n项和为，且.
(1)求；
(2)证明：当时，.
【答案】(1)(2)见解析
【解析】(1)当时，，解得，
当时，，
即，
是以为首项，为公比的等比数列，
则，即，
(2)由，得，
则，令，则，
令，则，当时，，
在上单调递增，，即，
当且仅当时，取等，得证.
2．（2022·湖南·一模）已知数列的前n项和为，．
(1)证明：数列为等比数列；
(2)记数列的前n项和为，证明：．
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.
【解析】
(1)，，∴，
故数列为等比数列，首项为，公比为2；
(2)由(1)可知，∴，.
3．（2022·广东深圳·一模）已知数列的首项，且满足．
(1)证明：是等比数列；
(2)求数列的前n项和．
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】(1)由，得， 又，故，
故，所以， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列．
(2)由（1）可知，所以，          
所以．
考点二 裂项相消求和
【例2-1】（2022·辽宁·鞍山一中模拟预测）已知是等差数列的前项和，，，公差，且___________.从①为与等比中项，②等比数列的公比为，这两个条件中，选择一个补充在上面问题的横线上，使得符合条件的数列存在并作答.
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前项和为，求证：.
【答案】(1)选择条件见解析，(2)证明见解析
【解析】(1)若选①，为与的等比中项，
则，由为等差数列，，得，∴，
把代入上式，可得，解得或（舍）
∴，；
若选②，为等比数列的公比，且，
可得，即，即有，即；
又，可得，即，解得，此时；
(2)∵，
∴；∴，得证
【例2-2】（2022·广东肇庆·模拟预测）已知数列是等比数列，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和，并证明：.
【答案】(1)(2)，证明见解析.
【解析】(1)设等比数列的公比是q，首项是.
由，可得.
由，可得，所以，
所以；
(2)证明：因为，
所以
.
又，所以.
【例2-3】（2022·广东梅州·二模）已知是数列的前项和，，___________.
①，；②数列为等差数列，且的前项和为.从以上两个条件中任选一个补充在横线处，并求解：
(1)求；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)条件选择见解析，(2)
【解析】(1)解：选条件①：，，得，
所以，，
即数列、均为公差为的等差数列，
于是，
又，，，所以；
选条件②：因为数列为等差数列，且的前项和为，
得，所以，
所以的公差为，
得到，则，
当，.
又满足，所以，对任意的，.
(2)解：因为，
所以
.
【例2-4】（2022·广东茂名·二模）已知数列满足，，．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)若，求数列的前项和．
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】(1)由得：，又，
数列是以为首项，为公比的等比数列.
(2)由（1）得：，
则，，，…，，
各式作和得：，
又，，
，
当为偶数时，
；
当为奇数时，；
综上所述：.
【一隅三反】
1．（2022·广东梅州·二模）已知是数列的前项和，，___________.
①，；②数列为等差数列，且的前项和为.从以上两个条件中任选一个补充在横线处，并求解：
(1)求；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)条件选择见解析，(2)
【解析】(1)解：选条件①：，，得，
所以，，
即数列、均为公差为的等差数列，
于是，
又，，，所以；
选条件②：因为数列为等差数列，且的前项和为，
得，所以，
所以的公差为，
得到，则，
当，.