人教版高中数学7.1 空间几何中的平行（精讲）（基础版）（解析版）.docx

7.1 空间几何中的平行（精讲）（基础版）
思维导图
考点呈现
例题剖析
考点一 三角形中位线
【例1】（2022·浙江）已知四棱锥的底面是菱形，为的中点，求证：平面
【答案】证明见解析
【解析】连接交于，连接,是菱形，是中点，又是中点面,面面
【一隅三反】
1．（2022·广东珠海）如图，在三棱柱中，点是的中点，求证：平面
【答案】证明见解析；
【解析】连接交于，连接，由为三棱柱，则为平行四边形，所以是中点，又是的中点，故在△中，面，面，所以平面.
2．（2022·山东）如图，在三棱柱中，点M为的中点，证明：平面
【答案】证明见解析
【解析】连接与交于点O，则O为的中点，连接OM，因为点M为的中点，所以，因为平面，平面，所以平面；
3．（2022·山东滨州）如图，在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，点E是PB的中点，求证：平面EAC
【答案】证明见解析
【解析】证明：连结BD交AC于点O，连接EO.显然，O为BD的中点，又因为E为PB的中点，所以.又因为面EAC，面EAC，所以平面EAC；
考点二 构造平行四边形
【例2】（2022·重庆巴蜀中学）如图，在多面体中，四边形是一个矩形，，求证：平面
【答案】证明见解析
【解析】（1）设，连接，由于，所以四边形是平行四边形，所以，由于平面平面，所以平面
.
【一隅三反】
1．（2022·河南·商丘市第一高级中学）在直三棱柱中，E，F分别是，的中点，求证：平面
【答案】证明见解析
【解析】证明：在直三棱柱中，E，F分别是，的中点，取的中点，连接，，如图，则且，又且，所以且，所以四边形是平行四边形，所以．因为平面，平面，所以平面；
2．（2022·河北保定）如图，已知多面体，平面平面，且，证明：平面
【答案】证明见解析
【解析】证明：因为平面平面，所以.因为，所以四边形为平行四边形，则.又平面平面，所以平面.
3．（2022·辽宁营口）如图，三棱柱中，E为中点，F为中点，求证：平面
【答案】证明见解析
【解析】证明：取BC中点为D,连接ED,AD, 因为E为中点,故 ,又 ,F
为中点,故 ,所以四边形EDAF为平行四边形，故 ,因为平面，平面,故平面；
考点三 等比例
【例3】（2022·云南·弥勒市一中）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中，，，且．点在棱上，点为中点，证明：若，则直线平面
【答案】证明见解析
【解析】在上取一点，使得，连接，
，，又平面，平面，
平面；
，，，
，，四边形为平行四边形，，
又平面，平面，平面；
，平面，平面平面，
平面，平面.
【一隅三反】
1．（2022·广东）如图所示，是所在平面外的一点，、、分别是、、的重心，求证：平面平面
【答案】证明见解析
【解析】连接、、，∵、、分别是、、的重心，
∴、、分别为、、的中点，且，
∴， ，
平面，平面，所以平面，
平面，平面，所以平面，
且，∴平面平面.
2（2022·江苏宿迁）如图，三棱柱中，，，点，分别在和上，且满足，，证明：平面
【答案】见解析
【解析】过点作，交于点，连接，
由题意得，
故，，而平面，平面，
平面，同理得平面，
而，平面平面，
平面
3．（2022·湖南·长沙一中）如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=4，BC=BB1=3，G为AB的中点，E，F分别在线段A1C1，AC上，且，求证：平面BB1F
【答案】证明见解析
【解析】取的中点，连接，
故为的中位线，得，
而平面，平面，
从而平面，①
又，结合长方体的对称性知，
即四边形为平行四边形，故，
又，所以，
而平面，平面，
从而平面，②
，
结合①②知，平面平面，从而平面.
考点四 线面平行的性质