人教版高中数学8.9 幂函数（精讲）（基础版）（解析版）.docx

8.9 幂函数（精讲）（基础版）
思维导图
考点呈现
例题剖析
考点一 幂函数的三要素
【例1-1】（2022·四川省）幂函数y＝（m∈Z）的图象如图所示，则实数m的值为________.
【答案】1
【解析】有图象可知：该幂函数在单调递减，所以，解得，,故可取，又因为该函数为偶函数，所以为偶数，故故答案为：
【例1-2】（2022课时练****1）函数的定义域是________，值域是________；
（2）函数的定义域是________，值域是________；
（3）函数的定义域是________，值域是________；
（4）函数的定义域是________，值域是________．
【答案】（1）         （2）          
（3）          （4）     
【解析】（1）幂函数图像如图所示，定义域为，值域为,
（2）幂函数图像如图所示，定义域为，值域为,
（3）幂函数图像如图所示，定义域为，值域为,
（4）幂函数图像如图所示，定义域为，值域为,
故答案为：（1）;,
（2）;,
（3）;,
（4）;.
【一隅三反】
1．（2022·云南师大附中高三阶段练****已知为幂函数， 且， 则（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为为幂函数，
设，则，
所以，可得，则.
故选：B
2．（2022·全国·模拟预测（文））设，则“函数的图象经过点”是“函数在上递减”的（    ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】函数的图象经过点，则，
因为，所以，所以，
所以在上递减，
而在上递减，函数的图象不一定经过点，
如：.
所以“函数的图象经过点”是“函数在上递减”的充分不必要条件.
故选：A.
3．（2022·河北·邢台市第二中学高三阶段练****设，函数，若的最小值为，则实数的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】当时，，
当且仅当时，等号成立；
即当时，函数的最小值为，
当时，，
要使得函数的最小值为，则满足，解得，
即实数的取值范围是.
故选：A.
4．（2022·河北）已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】函数在上单调递减，其函数值集合为，
当时，的取值集合为，的值域，不符合题意，
当时，函数在上单调递减，其函数值集合为，
因函数的值域为，则有，解得，
所以实数的取值范围为.故选：D
考点二 幂函数的性质
【例2-1】（2022·黑龙江·鸡东县第二中学二模）当时，幂函数为减函数，则实数m的值为（   ）
A． B．
C．或 D．
【答案】A
【解析】因为函数既是幂函数又是的减函数，所以解得：.
故选：A.
【例2-2】（2022·广西）已知，，，，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题得，，，，因为函数在上单调递增，所以．又因为指数函数在上单调递增，所以．故选:D．
【例2-3】（2022·云南）已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上单调递减，则满足的a的取值范围为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】幂函数在上单调递减，故，解得．又，故m＝1或2．
当m＝1时，的图象关于y轴对称，满足题意；
当m＝2时，的图象不关于y轴对称，舍去，故m＝1．
不等式化为，
函数在和上单调递减，
故或或，解得或．
故应选：D．
【一隅三反】
1．（2022·黑龙江·嫩江市高级中学高三开学考试）下列关于幕函数的命题中正确的有（    ）
A．幂函数图象都通过点
B．当幂指数时，幂函数的图象都经过第一、三象限
C．当幂指数时，幂函数是增函数
D．若，则函数图象不通过点
【答案】B
【解析】对于A，当时，幂函数图象不通过点，A错误；
对于B，幂指数时，幂函数分别为 ，三者皆为奇函数，
图象都经过第一、三象限，故B正确；
对于C，当时，幂函数在上皆单调递减，C错误；
对于D，若，则函数图象不通过点，通过点，D错误，故选：B
2．（2023·全国·高三专题练****幂函数在x（0，+∞）上是减函数，则m＝（    ）
A．﹣1 B．2 C．﹣1或2 D．1
【答案】A
【解析】∵幂函数，
∴m2﹣m﹣1＝1，
解得m＝2，或m＝﹣1；